Loi faible des grands nombres

On considère un évènement $A$ de probabilité $p$. On effectue $n$ expériences indépendantes. Pour la $i$-ème expérience, on note $X_{i}$ la variable aléatoire qui, si l'évènement $A$ apparaît, prend la valeur 1, sinon la valeur 0. La variable aléatoire

$$S_{n}=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$$

permet de compter le nombre d'apparition de l'évènement $A$ au cours des $n$ expériences. La variable aléatoire $S_{n}$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. La variable aléatoire $\frac{S_{n}}{n}$ prend pour valeur la fréquence d'apparition de l'évènement $A$ au cours des $n$ expériences. Nous admettrons le théorème suivant :

Théorème 10   Pour tout nombre entier $n>0$ et pour tout nombre réel $t>0$, on a

$$P\left(\left\vert\frac{S_{n}}{n}-p\right\vert>t\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n}}\right)\leqslant \frac{1}{t^{2}}$$

Ce théorème indique que, pour n'importe quel nombre réel $t>0$ et nombre entier $n>0$, la variable $\frac{S_{n}}{n}$, mesurant la fréquence d'apparition d'un évènement $A$ de probabilité $p$ au cours de $n$ expériences indépendantes, prend une valeur extérieure à l'intervalle

$$\left[p-t\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n}},p+t\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n}}\right]$$

avec une probabilité inférieure ou égale à $\frac{1}{t^{2}}$.

Théorème 11   Avec une probabilité $\left(1-\frac{1}{t^{2}}\right)$ choisie aussi grande que l'on veut, $\frac{S_{n}}{n}$ prend une valeur aussi proche que l'on veut de $p$ lorsque $n$ est suffisamment grand. C'est la loi faible des grands nombres.

La loi faible des grands nombres justifie le fait que la probabilité d'un évènement est très proche de la valeur autour de laquelle se stabilise la fréquence d'apparition de cet évènement lorsque le nombre d'expériences devient très grand.