Théorème de la limite centrée

Théorème 12   Soient $X_{1}$, $X_{2}$, ..., $X_{n}$ $n$ variables aléatoires indépendantes, suivant toutes la même loi, admettant une moyenne $\mu$ et une variance $\sigma ^{2}$ ( $\sigma \neq 0$ ). Pour $n$ suffisamment grand, la variable aléatoire

$$\overline{X}=\frac{X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}$$

suit approximativement la loi normale $N\left(\mu ,\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right)$.

En particulier, pour $n$ suffisamment grand,

$$\frac{\overline{X_{n}}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\sqrt{n}\frac{\overline{X_{n}}-\mu }{\sigma }$$

suit approximativement la loi normale centrée réduite. On a :

$$E(\overline{X_{n}})=\mu \; V(\overline{X_{n}})=\frac{\sigma ^{2}}{n}\; \sigma (\overline{X_{n}})=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$