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Règle de d'Alembert

Théorème 7.4   Soit une série $ \left( u_{n}\right)
$ à termes strictement positifs telle que

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=l
$

Si $ l<1$, alors la série est convergente; si $ l>1$ alors la série est divergente.

En effet, si $ l<1$, alors il existe un entier $ n_{0}>0$ tel que pour tout entier $ n\geqslant n_{0}$, on a :

$\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_{n}}<k
$

avec $ 0<k<1$. Par récurrence, on démontre alors que pour tout $ n\geqslant n_{0},$ on a :

$\displaystyle u_{n}<\frac{u_{n_{0}}}{k_{n_{0}}}k^{n}
$

La série géométrique de terme général $ k^{n}$ avec $ 0<k<1$ converge. La série $ \left( u_{n}\right)
$ est donc convergente, d'après le théorème de comparaison.

Si $ l>1$, alors on montre que le terme général de la série $ \left( u_{n}\right)
$ ne tend pas vers 0, ce qui est un critère de divergence grossière.



Michel 2002-08-06