Théorème de Dirichlet

Conditions de Dirichlet

On dit qu'une fonction périodique de période $2\pi$ satisfait aux conditions de Dirichlet si :

• sur $\left[ \alpha,\alpha+2\pi\right] ,$ où $\alpha$ est un réel donné, la fonction $f$ est définie, continue, dérivable et admet une fonction dérivée $f^{\prime}$ continue, sauf éventuellement en un nombre fini de de points $t_{i}$.

• En chacun des points $t_{i}$ :
  • Si $t_{i}\neq\alpha$ et $t_{i}\neq\alpha+2\pi,$ la fonction $f$ et sa dérivée $f^{\prime}$ admettent une limite réelle à gauche et une limite réelle à droite.

  • Si $t_{i}=\alpha,$ la fonction $f$ et sa dérivée $f^{\prime}$ admettent une limité réelle à droite.

  • Si $t_{i}=\alpha+2\pi,$ la fonction $f$ et sa dérivée $f^{\prime}$ admettent une limité réelle à gauche.

Théorème 7.8   Théorème de Dirichlet Si $f$ est une fonction périodique de période $2\pi$ satisfaisant aux conditions de Dirichlet, alors

• La série de Fourier de la fonction $f$ converge pour tout réel $t$

• En tout point $t_{0}$ où la fonction $f$ est continue, la série de Fourier a pour somme $f\left( t_{0}\right)$.

• En tout point $t_{0}$ où la fonction $f$ n'est pas continue, la série de Fourier a pour somme le réel
  $$\frac{1}{2}\left[ \lim_{t\rightarrow t_{0}^{+}}f\left( t\right) +\lim_{t\rightarrow t_{0}^{-}}f\left( t\right) \right]$$