Développement en série de Fourier d'une fonction périodique de période $T$.

Si $f$ est une fonction périodique de période $T$ qui satisfait aux conditions de Dirichlet sur l'intervalle $\left[ \alpha;\alpha+T\right]$, où $\alpha$ est un réel donné, les coefficients de Fourier se calculent par :

$$a_{0}=\frac{1}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}f\left( t\right) dt\quad... ...c{2}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}f\left( t\right) \sin\left( n\omega t\right) dt$$

En tout point où la fonction $f$ est continue, la somme de la série de Fourier de $f$ est $f\left( t\right)$ définie par :

$$f\left( t\right) =a_{0}+\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}\cos\left( n\omega t\right) +b_{n}\sin\left( n\omega t\right)$$

En un point $t_{0}$ où la fonction $f$ n'est pas continue, la somme de la série est le réel :

$$\frac{1}{2}\left[ \lim_{t\rightarrow t_{0}^{+}}f\left( t\right) +\lim_{t\rightarrow t_{0}^{-}}f\left( t\right) \right]$$