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Exercice 7.8   Les objectifs de cet exercice sont d'obtenir le développement en série de Fourier d'une fonction puis d'utiliser ce développement pour obtenir les sommes de deux séries numériques.
On considère la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ , paire, périodique de période $\pi$, telle que :

$$f(t)=\frac{\pi}{2}t~~~\textnormal{si}~~~ t~~~\textnormal{appartient à l'intervalle}~~~\left[0~,~\frac{\pi}{2}\right]$$

1. Tracer la représentation graphique de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi~,~+\pi]$.
2. Déterminer les coefficients de Fourier réels associés à la fonction $f$. On précisera la valeur de $a_n$, suivant la parité de l'entier non nul $n$.
3. 1. Montrer que la fonction $f$ vérifie les conditions d'application du théorème de Dirichlet.
   2. Soit
      $$S(t) = \frac{{\pi}^2}{8}- \sum_{p=0}^{+\infty}\frac{1}{(2p+1)^2}\cos\left( 2(2p+1)t \right)$$
      Donner, en la justifiant la valeur de $S(t)$ sur $\left[0~,~\frac{\pi}{2}\right]$ puis sur $\left[\frac{\pi}{2}~,~\pi \right]$.
4. Soient les séries numériques, convergentes, de terme général
   $$u_p=\frac{1}{(2p+1)^2}~~~\textnormal{et}~~~v_p=\frac{1}{(2p+1)^4}~~~ \left(p\in \mathbb{N}\right).$$
   1. En utilisant le développement en série de Fourier de la fonction $f$ déterminer
      $$\sum_{p=0}^{+\infty}\frac{1}{(2p+1)^2}.$$

   2. En utilisant la formule de Parseval, déterminer
      $$\sum_{p=0}^{+\infty}\frac{1}{(2p+1)^4}$$
      .

Exercice 7.9  

1. On a obtenu à l'aide d'une calculatrice :
   $$\int_0^{\pi} \sin t \cdot \cos t~{\rm d}t =0 ~~~~\textnormal{et}~~~~ \int_0^{\pi} \sin t \cdot \cos 2t~{\rm d}t = - \frac{2}{3}$$
   Justifier ces deux résultats en calculant les intégrales.
2. On considère le signal, modélisé par la fonction réelle $e$, de période $2\pi$ , définie par :
   $$\left\lbrace\begin{array}{l} e(t) = \sin t ~~~~\textnormal{si}~~~... ...\pi]\\ e(t) = 0 ~~~~\textnormal{si}~~~~ t\in ] \pi~,~ 2\pi[ \end{array}\right.$$
   1. Dans un repère orthogonal, tracer la représentation graphique de la fonction $e$ pour $t$ variant dans l'intervalle $] -2\pi~,~ 4\pi[$
   2. Calculer les coefficients de Fourier $a_0$, $a_1$ et $a_2$ de la fonction $e$. On admettra dans la suite de l'exercice que les coefficients $b_1$ et $b_2$ valent : $b_1=\frac{1}{2}$ et $b_2 = 0$.
3. 1. Calculer le carré $E^2$ de la valeur efficace du signal $e$.
   2. On sait par ailleurs que la formule de Bessel-Parseval donne :
      $$E^2=a_0^2+ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n^2+b_n^2}{2}$$
      Dans le cas présent, on décide de ne garder que les harmoniques de rang $1$ et $2$.
      Soit $P$ le nombre défini par : $P = a_0^2+\frac{1}{2}\left( a_1^2+ b_1^2+ a_2^2+ b_2^2 \right)$.
      Calculer $P$, puis donner une approximation décimale à $10^{-3}$ près du rapport $\frac{P}{E^2}$.
      La comparaison de $E^2$ et $P$ justifie que, dans la pratique, on néglige les harmoniques de rang supérieur ou égal à $3$.