Méthode de Lagrange

La méthode de Lagrange, aussi appelée méthode de variation de la constante, permet de déterminer une solution particulière d'une équation différentielle linéaire du premier ordre, dès lors que l'on connait la forme générale des solutions de l'équation homogène associée.

On suppose donc que la solution générale de l'équation différentielle :

$$a\left( t\right) y^{\prime}+b\left( t\right) y=c\left( t\right)$$

est donnée par $t\mapsto Ke^{F\left( t\right) },$ en posant $F\left( t\right) =\int-\frac{b\left( t\right) }{a\left( t\right) }\,dt.$ On recherche alors une solution particulière de la forme $\varphi:t\mapsto K\left( t\right) e^{F\left( t\right) },$ où $K$ est une fonction dérivable sur l'intervalle $I$ de résolution. En effet, on a :

$$a\left( t\right) \varphi^{\prime}\left( t\right) +b\left( t\right... ...t( t\right) =\frac{c\left( t\right) e^{-F\left( t\right) }}{a\left( t\right) }$$

Il suffit d'intégrer cette dernière équation pour déterminer $K\left( t\right) ,$ ce qui permet d'obtenir $\varphi\left( t\right) .$

Exercice 8.10   Résoudre l'équation différentielle

$$y^{\prime}+2y=xe^{x}$$ (E6)

Exercice 8.11   Déterminer l'expression de la dérivée sur $\left] 0,\pi\right[$ de la fonction

$$t\mapsto-\frac{\cos t}{\sin t}$$

et en déduire la résolution de l'équation différentielle définie sur $\left] 0,\pi\right[$ par

$$\left( \sin t\right) y^{\prime}-\left( \cos t\right) y=t$$ (E7)