Equations difféntielles linéaires du second ordre à coefficients constants

Définition 8.8   On appelle équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants toute équation différentielle qui, après après réduction, se ramène à la forme

$$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=f(x)$$

où $f$ est une fonction de la variable $x$, dérivable sur l'intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ , $x\mapsto y$ une fonction inconnue ( à déterminer) deux fois dérivable sur $I$, et $a,b,c$ trois constantes réelles données.

Théorème 8.3   Les solutions de cette équation sont la somme de l'une d'elles (solution particulière) avec les solutions de l'équation homogène associée:

$$ay^{\prime\prime}(x)+by^{\prime}(x)+cy(x)=0$$ (EH')

Résolution de l'équation $\qquad ay^{\prime\prime }(x)+by^{\prime}(x)+cy(x)=0$

On construit l'équation caractéristique : $\index{Equation!caractéristique}$

$$\fbox{$ar^{2}+br+c=0$}$$

On résout cette équation dans l'ensemble des complexes. Trois cas peuvent se produire:

• Si $\Delta<0,$ alors l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées :
  $$r_{1}=\alpha+i\beta$$ et $$r_{2}=\overline{r_{1}}$$
  La solution générale de l'équation $\left( EH^{\prime}\right)$ est alors définie par :
  $$\fbox{$x\mapsto e^{\alpha\,x}\left( C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\right) $}$$
  où $C_{1}$ et $C_{2}$ sont deux constantes réelles arbitraires.

• Si $\Delta=0,$ alors l'équation caractéristique admet une racine double réelle: $r_{1}=r_{2}=\alpha.$ La solution générale de l'équation $\left( EH^{\prime}\right)$ est alors définie par
  $$\fbox{$x\mapsto\left( C_1x+C_2\right) e^{\alpha\,x}$}$$
  où $C_{1}$ et $C_{2}$ sont deux constantes réelles arbitraires.

• Si $\Delta>0,$ alors l'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes $r_{1}$ et $r_{2}.$ La solution gé nérale de l'équation $\left( EH^{\prime}\right)$ est alors définie par :
  $$\fbox{$x\mapsto C_1e^{r_1\,x}+C_2e^{r_2\,x}$}$$
  où $C_{1}$ et $C_{2}$ sont deux constantes réelles arbitraires.

Exercice 8.12   Résoudre les équations différentielles :

$$2y^{\prime\prime}+3y^{\prime}-2y =0$$ (E8)

$$y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y =0$$ (E9)

$$y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+5y =0$$ (E10)

Exercice 8.13   Résoudre l'équation différentielle :

$$y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+6y=t^{2}+t-5$$ (E11)

Exercice 8.14   Résoudre l'équation différentielle

$$y^{\prime\prime}+9y=2\cos\left( 3t\right)$$ (E12)

On pourra chercher une solution particulière sous la forme $t\mapsto kt\sin\left( 3t\right) ,$ où $k$ est une constante réelle.
Déterminer la solution $f$ qui vérifie $f\left( 0\right) =1$ et $f^{\prime }\left( 0\right) =3.$