exercices

Exercice 8.15   Un bassin artificiel destiné à la pisciculture contient 30 000 litres d'eau pure. A un certain moment, une eau polluée à 4 % par une substance chimique $S$ se déverse dans le bassin de façon continue avec un débit moyen de $150$ litres à l'heure. On suppose qu'à partir de ce même moment, le bassin laisse échapper son contenu avec le même débit. On se propose de déterminer à chaque instant le pourcentage de substance $S$ présente dans l'eau du bassin.

On note $y\left( t\right)$ le volume en litres de substance $S$ présente à la date $t,$ en choisissant comme origine des temps l'instant où le phénomène de pollution commence, et comme unité de temps l'heure.

1. 
   
   
   
   

   Déterminer la quantité de substance $S$ déversée en une heure dans le bassin.

2. On peut établir que $y\left( t\right)$ est solution de l'é quation différentielle $\left( E\right)$

   $$y^{\prime }+0,005y=6$$

   
   
   1. Déterminer une fonction $g$ constante solution de $\left( E\right) .$

   2. Montrer que $f$ est solution de $\left( E\right)$ si et seulement si $\left( f-g\right)$ est solution de l'équation $\left( E^{\prime }\right)$ définie par :

      $$y^{\prime }+0,005y=0$$

      
      

   3. Résoudre alors l'équation différentielle $\left( E\right)$

   4. En déduire l'expression de $y\left( t\right)$ en fonction de $t.$

3. Calculer le pourcentage $p\left( t\right)$ de substance $S$ pré sente dans l'eau du bassin en fonction de $t.$

4. Quel est le pourcentage maximal de subtance $S$ contenue dans le bassin ?

5. La vie des poissons sera en danger lorsque le taux de substance $S$ dans l'eau du bassin atteindra 2%. Quel est le temps dont disposera le pisciculteur pour arrêter cette polution ?

Exercice 8.16   ( Sportifs de haut niveau 96 ) L'objectif de la partie A est de résoudre une équation différentielle $\left( 1\right)$ avec second membre. Dans la partie B, on étudiera une fonction, solution particulière de l'équation $\left( 1\right)$ , à l'aide d'une fonction auxiliaire. Dans la partie C, on déterminera l'aire d'une région du plan donnée. Les parties A, B et C peuvent être traités indépendamment l'une de l'autre.

Résolution d'une équation différentielle.

On se propose de déterminer les fonctions définies sur l'intervalle $\left] 0;+\infty \right[$ qui sont solutions de l'équation différentielle suivante :

$$y^{\prime \prime }+3y^{\prime }+2y=\frac{x-1}{x^2}e^{-x}\qquad \left( 1\right)$$

1. Montrer que la fonction $p$ définie sur $\left] 0;+\infty \right[$ par $p\left( x\right) =e^{-x}\ln x$ est une solution particulière de l'équation $\left( 1\right) .$

2. Démontrer qu'une fonction $f$, définie sur $\left] 0;+\infty \right[$ est solution de l'équation différentielle $\left( 1\right)$ si et seulement si la fonction $h=f-p$ est une solution de l'équation différentielle :

   $$y^{\prime \prime }+3y^{\prime }+2y=0\qquad \left( 2\right)$$

   
   

3. Déterminer les solutions de l'équation différentielle :

   $$y^{\prime \prime }+3y^{\prime }+2y=0\qquad \left( 2\right)$$

   
   

4. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $\left( 1\right) .$
   
   

Etude de fonctions

On se propose dans cette partie d'étudier une solution particulière de l'équation différentielle $\left( 1\right)$. Soit la fonction $f$ définie sur $\left] 0;+\infty \right[$ par :

$$f\left( x\right) =e^{-x}\left( 3+\ln x\right)$$

I) Etude d'une fonction auxiliaire

On considère la fonction $g$ définie sur $\left] 0;+\infty \right[$ par :

$$g\left( x\right) =-3-\ln x+\frac 1x$$

1. Calculer les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition.

2. Déterminer la fonction dérivée $g^{\prime }$ de $g$ et dresser le tableau de variation de $g$.

3. Démontrer que l'équation $g\left( x\right) =0$ admet une seule solution $\alpha$ dans $\left] 0;+\infty \right[$ et que cette solution $\alpha$ appartient à $\left[ 0,45;0,46\right] .$

4. Déduire de ce qui précède l'étude du signe de $g\left( x\right)$ sur $\left] 0;+\infty \right[ .$

II) Etude de la fonction $f$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un plan rapporté à un repère orthonormal $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath} \right)$ d'unité graphique $4$ centimètres.

1. Etudier les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de dé finition. Pour calculer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$, on pourra établir que :

   $$f\left( x\right) =3e^{-x}+\frac{\ln x}{x}\times \frac{x}{e^{x}} x>0$$

   
   
   Déduire de cette étude les asymptotes de la courbe $\mathcal{C}$.

2. Déterminer la fonction dérivée $f^{\prime}$ de $f$ et v érifier que, pour tout réel $x$ strictement positif, on a :

   $$f^{\prime }\left( x\right) =e^{-x}g\left( x\right)$$

   
   
   Déduire des questions précédentes les variations de $f$. Pour le calcul de $f\left( \alpha \right)$, on prendra comme valeur approchée de $\alpha$ la valeur $0,45$.

3. Déterminer le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.

4. Tracer la courbe $\mathcal{C}$.

III) Calcul d'aire

On considère dans le repère orthogonal $\left( O;\vec{u},\vec{v} \right)$ ci-dessous ( unité sur l'axe des abscisses : $4$ cm, unité sur l'axe des ordonnées : $1$ cm ), la courbe de la fonction $g$ définie par, pour tout $x>0,$

$$g\left( x\right) =-3-\ln x+\frac{1}{x}$$

$\alpha$ est la valeur déterminée en B.I.3 telle que $g\left( \alpha \right) =0.$

1. Déterminer en fonction de $\alpha$ :

   $$I=\int_{0,25}^\alpha \ln x\,dx$$

   
   
   On pourra utiliser une intégration par parties.

2. 1. Calculer, en fonction de $\alpha$ :

      $$J=\int_{0,25}^\alpha g\left( x\right) \,dx$$

      
      

   2. Montrer que l'on a :

      $$J=\alpha +\frac 1\alpha -\frac 72+\frac 32$$

      
      

Exercice 8.17   On se propose de résoudre le système différentiel $(S)$ suivant, puis d'en déterminer une solution particulière.

$$(S) \left\lbrace\begin{array}{ll} x'(t)+2y(t)=-2\sin t & (E_1) \\ 2x(t)-y'(t)=-2\cos t & (E_2) \end{array}\right.$$

Les fonctions $x$ et $y$ sont des fonctions de la variable réelle $t$, deux fois dérivables sur $\mathbb{R}$.



Partie A

1. Montrer en utilisant les équations $(E_1)$ et $(E_2)$ que la fonction $x$ vérifie, pour tout $t$ dans $\mathbb{R}$, l'équation différentielle :
   $$x''(t)+4x(t)=-6\cos t ~~~~~~ (E)$$

2. Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E)$. En déduire les solutions du système $(S)$.
3. Déterminer la solution particulière du système $(S)$ vérifiant les conditions initiales $x(0)=-1$ et $y(0)=0$.

Partie B


On considère la courbe $(\Gamma)$ définie par la représentation paramétrique

$$\left\lbrace\begin{array}{lllll} x &=&f(t)&=&\cos(2t)-2\cos t \\ y &=&g(t)&=&\sin(2t)-2\sin t \end{array}\right.$$

où $t$ est un réel appartenant à l'intervalle $[-\pi~,~+\pi]$.

1. Montrer que la courbe $(\Gamma)$ admet un axe de symétrie en calculant $f(-t)$ et $g(-t)$.
2. 1. [2.1] Calculer $f'(t)$.
      Montrer que : $f'(t)=-4\sin \left( \frac{t}{2}\right) \cos\left( \frac{3t}{2}\right)$.
   2. [2.2] Établir le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle $[0~,~\pi]$.
3. On admet que $g'(t)=-4\sin\left( \frac{t}{2}\right) \sin\left( \frac{3t}{2}\right)$ et que le signe de $g'$ est donné par le tableau suivant :

   $t$	0		$\frac{2\pi}{3}$		$\pi$
   Signe de $g'(t)$	0	$-$	0	$+$

   Dresser sur l'intervalle $[0~,~\pi]$ le tableau des variations conjointes des fonctions $f$ et $g$.
4. Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe $(\Gamma)$aux points $B$, $C$ et $D$ de paramètre respectifs $t_B=\frac{\pi}{3}$, $t_C=\frac{2\pi}{3}$ et $t_D=\pi$.
5. Le plan ${\cal P}$ est rapporté à un repère $(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j} )$ d'unité graphique $2$ cm.
   On admet que la tangente à la courbe $(\Gamma)$ au point $A$ de paramètre $t_A=0$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{i}$. Tracer les tangentes aux points $A$, $B$, $C$ et $D$ puis la courbe $(\Gamma)$.

Exercice 8.18   PARTIE A : Résolution d'une équation différentielle

On considère l'équation différentielle :

$$(E)\quad y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=\left( -6x-4\right) e^{-x}%%$$

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, $y^{\prime}$ sa fonction dérivée première et $y^{\prime\prime}$ sa fonction dérivée seconde.

1. Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle :
   $$(E_{0})\quad y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=0$$

2. Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
   $$h(x)=\left( x^{2}+2x\right) e^{-x}%%$$
   Démontrer que $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle $\left( E\right)$.

3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $\left( E\right)$.

4. Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $\left( E\right)$ qui vérifie les conditions initiales :
   $$f\left( 0\right) =1\quad f^{\prime}\left( 0\right) =1$$

PARTIE B : Etude d'une fonction

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=\left( x+1\right) ^{2}e^{-x}%%$$

Sa courbe représentative $C$ dans un repère orthonormal est donnée sur la figure ci-après.

1. 1. Calculer $\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)$.

   2. Déterminer $\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{2}e^{-x}$ et $\lim_{x\rightarrow+\infty}xe^{-x}$. En déduire $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$.

   3. Interpréter graphiquement le résultat obtenu au b).

2. 1. Démontrer que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$,
      $$f^{\prime}(x)=\left( 1-x^{2}\right) e^{-x}%%$$

   2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f^{\prime}%% (x)\geqslant0$.

   3. En déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.

3. 1. A l'aide du développement limité au voisinage de 0 de la fonction exponentielle $t\rightarrow e^{t}$, donner le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0 de la fonction x $\rightarrow e^{-x}$.

   2. Démontrer que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0 de la fonction f est :
      $$f(x)=1+x-\frac{1}{2}x^{2}+x^{2}\varepsilon\left( x\right)$$
      avec $\lim_{x\rightarrow0}\varepsilon\left( x\right) =0$.

   3. En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d'abscisse 0 et la position relative de $C$ et $T$ au voisinage de ce point.

PARTIE C : Calcul intégral

1. 1. La fonction $f$ définie dans la partie B étant une solution de l'équation différentielle $\left( E\right)$ :
      $$y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=\left( -6x-4\right) e^{-x}%%$$
      montrer que $f$ vérifie, pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ :
      $$f\left( x\right) =\frac{1}{2}\left[ f^{\prime\prime}\left( x\right) -f^{\prime}\left( x\right) +(6x+4)e^{-x}\right]$$

   2. Soit $F$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
      $$F\left( x\right) =\frac{1}{2}\left[ f^{\prime}\left( x\right) -f\left( x\right) -(6x+10)e^{-x}\right]$$
      Vérifier que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$,
      $$F^{\prime}\left( x\right) =f\left( x\right)$$

   3. Vérifier que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ :
      $$F\left( x\right) =\left( -x^{2}-4x-5\right) e^{-x}%%$$

2. Utiliser ce qui précède pour démontrer que l'aire $A$ de la partie du plan hachurée sur la figure est, en unités d'aire,
   $$A=2e-5$$