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Solution 8.1 :
Solution 8.2 : Non, car
Solution 8.3 : En séparant les variables,
on trouve que les solutions sont les fonctions définies par :
où est une constante réelle.
Solution 8.4 :En séparant les variables, on
a sur
:
Par intégration, on trouve comme solutions les fonctions
avec réel.
Solution 8.5 : On trouve
.
Solution 8.6 : On trouve
Solution 8.7 : On trouve
Solution 8.8 : On trouve
.
Solution 8.9 : On trouve :
Solution 8.10 : Les solutions de l'équation
homogène sont
On cherche une solution particuliè
re en posant
En
reportant dans l'équation différentielle, il vient
puis
Les solutions de l'équation différentielle sont donc
définies par
Solution 8.11 : La fonction
est dérivable sur
de dérivée
. Les solutions de l'équation homogène
sont les fonctions
On applique la méthode de Lagrange
pour déterminer une solution particulière. On trouve que :
Les solutions de l'équation différentielle sont donc :
Solution 8.12 : Par application des formules du
cours :
où et sont deux constantes réelles.
Solution 8.13 : Les solutions de
sont les fonctions définies par :
Solution 8.14 : Les solutions de
sont les fonctions définies par :
La solution vérifiant les conditions proposées est la fonction obtenue
pour
Solution 8.15 :
1. Cette quantité est de
litres.
2. a) On trouve que
pour tout réel.
2. b) Voir cours 2. c) Les solutions de l'équation
sont
D'après la question b) on
sait que les solutions de (E) sont donc les fonctions définies par
2. d) Comme
il vient d'où
3.
4. La fonction est croissante, donc le maximum s'obtiendra quand
tend vers Or, la limite de quand tend vers
est égale à 4. On en déduit donc que le pourcentage maximal de
subtance sera donc de 4 %.
5.
heures.
Solution 8.16 :
1. Pour tout de
, on a :
Il suffit alors de vérifier que pour tout de
, on a :
pour vérifier que est bien une solution particulière de l'é
quation
2. Une fonction , définie sur
est
solution de l'équation différentielle
si et
seulement si elle vérifie pour tout de
:
Par soustraction membre à membre avec l'égalité
, l'égalité précédente équivaut à :
Ce qui équivaut au fait que la fonction est une solution de l'
équation différentielle
.
3. Avec les formules de cours, on trouve que les solutions de l'équation
différentielle
sont les fonctions définies
par
où et sont deux constantes réelles quelconques.
4. D'après les questions précédentes, l'ensemble des solutions
de l'équation différentielle
est constitué
par les fonctions , c'est à dire que cet ensemble de solutions est
constitué des fonctions définies sur
par
:
I) Etude d'une fonction auxiliaire
1.
car
et
. De même,
car
et
2. Pour tout de
on a
Le signe de
est celui de
, d'où le tableau de variation de :
3. La fonction est continue et strictement décroissante sur
. Elle réalise donc une bijection de
sur
. Comme 0
appartient à l'intervalle image, l'équation
admet une seule solution dans
. Comme
de plus
et |
|
on en déduit aisément que cette solution appartient à
4. La fonction est décroissante sur
avec
, donc
est positive sur cet
intervalle. De même, on montre que
est négative
sur
II) Etude de la fonction .
1.
De plus, pour tout
on a :
Or
et
donc
d'après le cours.
Donc
On en déduit que
les droites d'équations et sont asymptotes à
2. Pour tout
Le signe de
est donc celui de
étudi
é précédemment. Donc est croissante sur
et décroissante sur
On
trouve que
.
3.
car
pour tout Les coordonnées du point
d'intersection de la courbe
avec l'axe des abscisses sont
4. Le tracé de est le suivant :
III) Calcul d'aire
1.
On trouve que :
2. (a)
(b) Puisque
on a
d'où
En reportant dans
l'expression de on trouve bien que :
Solution 8.17 :
Partie A
- Dérivons l'équation :
De l'équation , on tire :
En remplaçant dans l'équation , il vient :
qui est l'équation différentielle .
- L'équation sans second membre a pour équation caractéristique :
dont les solutions sont :
Donc la solution générale de l'équation sans second membre est :
Recherchons maintenant une
solution particulière de l'équation complète sous la
forme :
donc
et
; en remplaçant dans , il vient donc :
Il
faut donc que :
Donc et
conviennent ; par conséquent
est une solution
particulière de l'équation complète .
En conclusion, la
solution générale de l'équation est :
Pour déterminer les solutions
du système , il reste à calculer ; on sait que, d'après :
On obtient donc, en remplaçant, à l'aide de l'équation :
On vérifie, sans difficulté, en remplaçant dans le système ,
que ces solutions conviennent.
En conclusion, la solution de est :
- Déterminons la solution particulière qui satisfait et .
Il vient donc :
et
Donc la solution particulière de demandée est :
Partie B
-
car est pair ;
car est impair ;
donc la courbe admet l'axe des abscisses pour axe de
symétrie.
En effet : si le point
alors
son symétrique par rapport à l'axe des abscisses
.
-
- [2.1] Calculons :
- [2.2]
Si
, on a :
- d'une part
donc
- d'autre part
donc il y a deux cas :
En résumé :
- On admet que :
ainsi que :
donc le tableau conjoint sur est :
- Calculons le vecteur tangent
dans les trois cas ci-dessous :
- si
alors
et
donc
est colinéaire à
;
- si
alors
et
donc
est colinéaire à
;
- si alors
et
donc
est colinéaire à
.
-
Solution 8.18 :
PARTIE A
- L'équation caractéristique est
qui a pour solution 2 et -1, donc les fonctions solutions de
l'équation différentielle sont définies sur
par :
où et sont deux constantes réelles quelconques.
- On a :
ce qui permet facilement de vérifier que
ce qui prouve bien que est une solution particulière de l'équation
différentielle
.
- D'après le cours, on sait que toute solution de l'équation
différentielle
est somme d'une solution
particulière et d'une solution de l'équation
,
donc toute solution de
a pour expression :
- On a facilement :
ce qui donne un système d'équations ayant pour solutions et
. La fonction a donc pour expression :
PARTIE B
- On a
- D'après le cours, ou bien à l'aide du changement de variable
défini par , on a
et
. Il suffit ensuite d'écrire
sous la forme :
pour en déduire
.
- On en déduit que la courbe représentative de admet une
asymptote horizontale d'équation , c'est à dire l'axe des abscisses.
- est dérivable sur
et pour tout de
,
- Comme , le signe de
est celui
de
, trinôme qui a deux racines et . En
conséquence
sur
. Donc
est l'intervalle solution de
l'inéquation
.
- On en déduit facilement que est décroissante sur
, croissante sur
et
décroissante sur
.
- On a à l'aide du formulaire :
avec
.
- Il suffit d'utiliser le produit de deux développements limités
:
en ne conservant dans le développement que les termes d'ordre au plus
égal à deux.
- Une équation de la tangente à la courbe au point
d'abscisse 0 est donc
et comme
on peut en déduire que sur un voisinage de 0, le signe de cette
différence est égal à celui de
, c'est à
dire négatif. En conséquence, on peut dire que la courbe est en
dessous de au voisinage de ce point.
PARTIE C
- La fonction définie dans la partie B étant une solution de
l'équation différentielle
, on peut donc dire que
pour tout réel :
On isole facilement
dans un membre pour obtenir
l'égalité demandée :
- Un simple calcul de dérivation fournit :
et ceci pour tout de
.
- On remplace dans l'expression de
et
par leurs expressions , ce qui
fournit facilement :
- L'aire de la partie du plan hachurée sur la figure est, en
unités d'aire, donnée par l'intégrale
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Michel
2002-08-06