Décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples

Définition 1.23   On appelle élément simple de $\mathbb{K}\left( X\right)$ une fraction rationnelle de la forme $\frac{P}{Q^{\alpha}},$ où $Q$ est un polynôme irréductible de $\mathbb{K}\left[ X\right]$ et $P$ est tel que $\deg\left( P\right) <\deg\left( Q\right) . \index{Element!simple}$

Définition 1.24   Une fraction rationnelle est décomposée en éléments simples quand elle est écrite sous la forme

$$E+\sum_{Q\text{ irr\'{e}ductible }}\sum_{\alpha\in\mathbb{N}^{*}}\frac {P}{Q^{\alpha}}$$

c'est à dire comme somme d'éléments simples de dénominateurs tous différents.

Théorème 1.9   Toute fraction rationnelle de $K\left( X\right)$ s'écrit de manière unique sous forme décomposée en éléments simples.

Exercice 1.14   Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes :

$$Q_{1}\left( X\right) =\frac{X+1}{\left( X-2\right) \left( X+3\right) }$$

$$Q_{2}\left( X\right) =\frac{1}{X^{3}\left( X+1\right) ^{2}}$$

$$Q_{3}\left( X\right) =\frac{X^{2}+X+1}{\left( X-1\right) ^{2}\left( X+1\right) ^{2}X}$$

$$Q_{4}\left( X\right) =\frac{2X^{4}+X^{2}-1}{X\left( X-1\right) ^{2}}$$