Exercices

Exercice 1.15   Déterminer une fonction polynôme de degré 3 dont la courbe représentative passe par les points $A(2,-1)$ et $B(1,1)$, où elle admet une tangente horizontale.

Exercice 1.16   Déterminer le polynôme $P$ d'interpolation de Lagrange de degré 3 vérifiant :

$$P(1)=1\quad P(2)=2\quad P(3)=-1\quad P(4)=5\quad$$

Exercice 1.17   On se propose dans cet exercice de déterminer tous les polynômes $P$ de $\mathbb{R}_{7}\left[ X\right]$ tels que $1$ soit racine d'ordre $4$ au moins de $\left( P\left( X\right) +4\right)$ et $-1$ soit racine d'ordre $4$ au moins de $\left( P\left( X\right) -4\right) .$

1. Démontrer que $\left( X-1\right) ^{3}$ divise $P^{\prime}\left( X\right) .$

2. Démontrer que $\left( X+1\right) ^{3}$ divise $P^{\prime}\left( X\right) .$

3. En déduire l'expression de $P^{\prime}\left( X\right) .$

4. Déterminer alors les polynômes $P$ cherchés.

Exercice 1.18   On définit le polynôme $P$ par

$$P\left( X\right) =X^{3}-4X^{2}-17X+60$$

1. Démontrer que $P$ admet trois racines réelles.

2. Déterminer les racines de $P$ sachant que ce polynôme admet deux racines dont la différence est égale à $2.$

Exercice 1.19   Déterminer tous les polynômes $P$ de $\mathbb{R} \left[ X\right]$ vérifiant

$$P(2X)=P'(X)P''(X)$$