Solutions des exercices

Solution 1.1 : Les domaines de définition sont égaux à $\mathbb{R}.$ Après simplification, il vient :

$$f\left( x\right) =\frac{x^{8}-16}{x^{4}+4}=x^{4}-4$$ et $$g\left( x\right) =10+2x^{2}\newline$$

donc $f$ et $g$ sont bien des fonctions polynômes.

Solution 1.2 : Par identification des coefficients, on trouve que $a=2,$ $b=1$ et $c=0.$

Solution 1.3 : On trouve facilement
$PQ=-6X^{5}-19X^{4}-X^{3}-4X^{2}-17X+21$
$P^{2} =\allowbreak9X^{4}+12X^{3}-14X^{2}-12X+9$
$Q^{2}=\allowbreak 4X^{6}+20X^{5}+21X^{4}+18X^{3}+71X^{2}-14X+49$

Solution 1.4 : On développe le polynôme donné :

$$X\left( X+a\right) \left( X+2a\right) \left( X+3a\right) +a^{4} =\allowbreak X^{4}+6X^{3}a+11X^{2}a^{2}+6Xa^{3}+a^{4}$$

Si ce polynôme est le carré d'un polynôme unitaire, alors il existe $\alpha$ et $\beta$ réels tels que :

$$\left( X^{2}+\alpha X+\beta\right) ^{2}=\allowbreak X^{4}+6X^{3} a+11X^{2}a^{2}+6Xa^{3}+a^{4}$$

On développe le carré, puis on identifie les coefficients, d'où :

$$X^{4}+2X^{3}\alpha+X^{2}\left( 2\beta+\alpha^{2}\right) +2\alpha X\beta+\beta^{2}=\allowbreak X^{4}+6X^{3}a+11X^{2}a^{2}+6Xa^{3}+a^{4}$$

On trouve après calcul par exemple les valeurs $\alpha=3a$ et $\beta =a^{2}.$ Le polynôme $X^{2}+3aX+a^{2}$ répond donc à la question.

Solution 1.5 : On a $P\left( 2\right) =0$ et $P\left( -3\right) =0,$ d'où $a=106$ et $b=-204.$

Solution 1.6 : Pour tout $x$ de $\mathbb{R} _{+},$ $P\left( x\right) >0,$ donc les racines éventuelles appartiennent à $\mathbb{R}_{-}^{\ast}.$

Solution 1.7 : $P\left( \frac{1}{2}\right) =P\left( -\frac{1}{2}\right) =0.$ Comme ces deux racines sont distinctes, on en déduit que $P\left( x\right)$ se factorise par $\left( x-\frac{1}{2}\right) \left( x+\frac{1} {2}\right) .$

Solution 1.8 : $P\left( 1\right) =0$ entraîne que la somme des coefficients est nulle. Seul le polynôme du cas a) est factorisable par $\left( x-1\right) ,$ et on a :

$$P\left( x\right) =8x^{5}-3x^{4}+6x^{2}-4x-7=\left( x-1\right) \left( 8x^{4}+5x^{3}+5x^{2}+11x+7\right)$$

Solution 1.9 : On vérifie que $P\left( 1\right) =P^{\prime}\left( 1\right) =P^{\prime\prime}\left( 1\right) =0$ et que $P^{\prime\prime\prime}\left( 1\right) \neq0.$ En effet :

$$P\left( X\right) =-2X^{4}+10X^{3}-18X^{2}+14X-4 P\left( 1\right) =0$$

$$P^{\prime}\left( X\right) =-8X^{3}+30X^{2}-36X+14 P^{\prime}\left( 1\right) =0$$

$$P^{\prime\prime}\left( X\right) =\allowbreak-24X^{2}+60X-36 P^{\prime\prime}\left( 1\right) =0$$

$$P^{\prime\prime\prime}\left( X\right) =-48X+60 P^{\prime\prime\prime}\left( 1\right) =12\neq0$$

Solution 1.10 : On obtient :

$$2X^{5}+X^{4}+2X^{3}-1=\left( \allowbreak2X^{3}+3X^{2}-X-10\right) \left( X^{2}-X+3\right) +\left( 29-7X\right)$$

Solution 1.11 : On remarque que :

$$\left( -x^{3}+4x^{2}+\frac{27}{7}x+\frac{37}{7}\right) \left( x+3\right) +\left( x^{2}+x+1\right) \left( x^{2}-2x-\frac{104}{7}\right) =1$$

ce qui prouve d'après l'égalité de Bezout que ces deux polynômes sont premiers entre eux.

Solution 1.12 : On obtient :

$$\left( P,Q\right) =\left( X-1\right) ^{2}\left( X+1\right) ^{4}$$

$$\left( P,Q\right) =X^{3}\left( X-1\right) ^{3}\left( X+2\right) \left( X+1\right) ^{5}$$

Solution 1.14 : On obtient les résultats suivants :

$$Q_{1}\left( X\right) =\frac{X+1}{\left( X-2\right) \left( X+3\right) }=\frac{3}{5\left( X-2\right) }+\frac{2}{5\left( X+3\right) }$$

$$Q_{2}\left( X\right) =\frac{1}{X^{3}\left( X+1\right) ^{2}}=\frac... ...}}-\frac{2}{X^{2}}+\frac{3}{X}-\frac{1}{\left( X+1\right) ^{2}} -\frac{3}{X+1}$$

$$Q_{3}\left( X\right) =\frac{X^{2}+X+1}{\left( X-1\right) ^{2}\lef... ...{4\left( X+1\right) ^{2}}-\frac{1}{4\left( X+1\right) }+\allowbreak\frac{1}{X}$$

$$Q_{4}\left( X\right) =\frac{2X^{4}+X^{2}-1}{X\left( X-1\right) ^{2} }=2X+4-\frac{1}{X}+\frac{2}{\left( -1+X\right) ^{2}}+\frac{8}{-1+X}$$

Solution 1.15 : On trouve :

$$f(x)=-\frac{x^3}{2}+\frac{3}{2}x$$

Solution 1.16 : Le polynôme d'interpolation de Lagrange est défini par :

$$P(x)=1A(x)+2B(x)+(-1)C(x)+5D(x)$$

où

$$A(x)=\frac{(x-2)(x-3)(x-4)}{(1-2)(1-3)(1-4)}$$

Il reste à déterminer les autres polynômes...

Solution 1.18 : On étudie sur $\mathbb{R}$ la fonction

$$x\mapsto P\left( x\right) =x^{3}-4x^{2}-17x+60$$

et on montre l'existence des trois racines réelles à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires. Soit $a$ une de ces racines. D'après le texte, $a+2$ est aussi une racine de $P,$ d'où

$$\left\{ \begin{array}[c]{l} P\left( a\right) =0\\ P\left( a... ...3}-4a^{2}-17a+60=0\\ a^{3}+2a^{2}-21a+18=0 \end{array}\right.$$

Par soustraction, on trouve que

$$-6a^{2}+4a+42=0,$$ d'où $$a=-\frac{7}{3}$$ ou $$a=3$$

Après vérification, seul $a=3$ convient, d'où $5$ est la deuxième racine. Enfin, comme le produit des racines du polynôme est égal à $-60,$ cela permet de trouver que $-4$ est la dernière racine cherchée.

Solution 1.19 : On appelle $n$ le degré de $P$. Vérifier que l'égalité proposée impose que $n=3$. A l'aide d'un système d'équations, résoudre alors le problème posé. On démontrera que l'ensemble $S$ des solutions est égal à :

$$S=\left\lbrace 0,\frac{4}{9}X^3 \right\rbrace$$