Exercices

Exercice 3.10   On considère la fonction $f$ définie sur $\left[ -1,1\right]$ par :

$$f\left( x\right) =\arcsin x+\arccos x$$

Déterminer l'expression de $f^{\prime}\left( x\right) ,$ et en déduire l'expression de $f\left( x\right) .$

Exercice 3.11   Pour $x\in\mathbb{R},$ on définit la fonction $\varepsilon$ par $\varepsilon\left( x\right) =1$ si $x>0,$ $\varepsilon\left( x\right) =-1$ si $x<0$ et $\varepsilon\left( 0\right) =0.$ Prouver que pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{\ast},$ on a

$$\arctan x+\arctan\frac{1}{x}=\varepsilon\left( x\right) \frac{\pi}{2}$$

Exercice 3.12   Calculer $\arcsin\left( \sin x\right)$ pour :

1. $\dfrac{19\pi}{2}\leqslant x\leqslant\dfrac{21\pi}{2}$

2. $\dfrac{21\pi}{2}\leqslant x\leqslant\dfrac{23\pi}{2}$

Exercice 3.13   Etudier et représenter la fonction $f$ définie par

$$f\left( x\right) =\arctan\left( \frac{1+x}{1-x}\right)$$