Fonctions hyperboliques

Définition 3.4   On appelle fonction sinus hyperbolique la fonction notée $\operatorname{sh}$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$$\operatorname{sh}x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$$

La courbe représentative de la fonction sinus hyperbolique est :

Définition 3.5   On appelle fonction cosinus hyperbolique la fonction notée $\operatorname{ch}$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$$\operatorname{ch}x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$$

La courbe représentative de la fonction cosinus hyperbolique est :

Définition 3.6   On appelle fonction tangente hyperbolique la fonction notée $\operatorname{th}$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$$\operatorname{th}x=\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x}=\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$$

La courbe représentative de la fonction sinus hyperbolique est :

Les fonctions hyperboliques sont continues sur $\mathbb{R},$ dérivables sur $\mathbb{R}$ et

$$\left( \operatorname{sh}x\right) ^{\prime}=\operatorname{ch}x\qua... ...rime}=1-\left( \operatorname{th}x\right) ^{2}=\frac{1}{\operatorname{ch}^{2}x}$$

Les fonctions hyperboliques vérifient la relation fondamentale :

$$\fbox{$\operatorname{ch}^{2}x-\operatorname{sh}^{2}x=1$}$$

Exercice 3.19   Démontrer que :

$$\operatorname{ch}\left( a+b\right) =\operatorname{ch}a\operatorname{ch} b+\operatorname{sh}a\operatorname{sh}b$$

Exercice 3.20   Déterminer les dérivées des fonctions définies par

$$f\left( x\right) =sh\left( 3x\right) \quad g\left( x\right) =ch\l... ...t( 1+x^{2}\right) \quad i\left( x\right) =\ln\left( th\left( 2x\right) \right)$$

Exercice 3.21   La chainette est la courbe suivant laquelle se tend un fil homogène, pesant, flexible et inextensible, suspendu par ses extrémités à deux points fixes. On montre, et on admet pour cet exercice, que la chainette est la courbe représentative $C_{\lambda}$ de la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f_{\lambda}\left( x\right) =\frac{ch\left( \lambda x\right) }{\lambda }\text{\emph{\ pour} }\lambda>0$$

Le but de cet exercice est de calculer une valeur approchée de la flèche prise par le fil, c'est à dire la distance $d$.

1. Etudier la parité de $f_{\lambda} .$ Préciser sa limite en $+\infty$ et dresser son tableau de variations.

2. On admet que la longueur $L\left( \lambda\right)$ de l'arc de courbe d'équation $y=f_{\lambda}\left( x\right)$ compris entre les points d'abscisse $x=-1$ et $x=1$ est égale à l'intégrale
   $$L\left( \lambda\right) =\int_{-1}^{1}\sqrt{1+\left[ f_{\lambda}^{\prime }\left( x\right) \right] ^{2}}\,dx$$
   Vérifier que $1+\left[ f_{\lambda}^{\prime}\left( x\right) \right] ^{2}=ch^{2}\left( \lambda x\right)$ et en déduire l'expression de $L\left( \lambda\right)$ en fonction de $\lambda.$

3. Exprimer en fonction de $\lambda$ la flèche $d\left( \lambda\right) =f_{\lambda}\left( 1\right) -f_{\lambda}\left( 0\right)$ de la chainette $C_{\lambda}.$

4. On se propose dans cette question d'étudier l'équation $L\left( \lambda\right) =4.$
   1. Pour $\lambda>0,$ résoudre l'équation $X^{2}-4\lambda X-1=0.$

   2. En déduire que l'équation $L\left( \lambda\right) =4\Leftrightarrow e^{\lambda}=2\lambda+\sqrt{4\lambda^{2}+1},$ puis que cette équation équivaut à $\lambda-\ln\left( 2\lambda +\sqrt{4\lambda^{2}+1}\right) =0.$

   3. On définit la fonction $g$ sur $\left[ 0,+\infty\right[$ par $g\left( x\right) =x-\ln\left( 2x+\sqrt{4x^{2}+1}\right) .$ Etudier les variations de la fonction $g$ et dresser son tableau de variations.

   4. Démontrer que l'équation $g\left( x\right) =0$ admet dans $\left] 0,+\infty\right[$ une unique solution $\alpha$ dont on déterminera une valeur approchée.