Exercices

Exercice 3.22   Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f\left( x\right) =\frac{\ln\left( 1+e^{x}\right) }{e^{x}}$$

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\left( O;\overrightarrow {i},\overrightarrow{j}\right) ,$ les unités graphiques étant de $1$ cm sur l'axe des abscisses et de $5$ cm sur l'axe des ordonnées. $C$ désigne la représentation graphique de $f$ dans ce repère.

1. Calculer la dérivée $f^{\prime}$ de $f$ sur $\mathbb{R}.$ Montrer que pour tout $x$ ré el, $f^{\prime }\left( x\right)$ est du signe de
   $$g\left( x\right) =\frac{e^{x}}{1+e^{x}}-\ln\left( 1+e^{x}\right)$$

2. 1. Calculer l'expression de $g^{\prime}\left( x\right) .$

   2. Déterminer les limites de $g$ aux bornes de son domaine de définition.

   3. Déterminer le sens de variation de $g$, puis déduire des questions précédentes le signe de $f^{\prime}\left( x\right) .$

3. 1. Etablir que :
      $$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln\left( 1+e^{x}\right) }{x}=1$$

   2. Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

   3. Dresser le tableau de variations de $f.$

   4. Tracer la courbe $C.$

4. 1. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout réel $x,$ on ait :
      $$\frac{1}{1+e^{x}}=a+\frac{be^{x}}{1+e^{x}}$$

   2. En déduire le calcul de
      $$\int_{0}^{1}\frac{1}{1+e^{x}}\,dx$$

   3. A l'aide d'une intégration par parties, calculer en cm$^{2}$ l'aire de la portion du plan comprise entre les droites d'équation $x=0,$$x=1$, $y=0$ et la courbe $C.$

Exercice 3.23   On désigne par $n$ un entier supérieur ou égal à 2 et on considère les fonctions, notées $f_{n}$, qui sont définies pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0,+\infty\lbrack$ par :

$$f_{n}(x)=\frac{1+n\ln(x)}{x^{2}}$$

PARTIE A

I : Etude des fonctions $f_{n}$

1. Calculer $f^{\prime}_{n}(x)$ et montrer que l'on peut écrire le résultat sous la forme d'un quotient dont le numérateur et $n-2-2n \ln(x)$.

2. Résoudre l'équation $f^{\prime}_{n}(x)=0$. Etudier le signe de $f^{\prime}_{n}(x)$

3. Déterminer la limite de $f_{n}$ en $+\infty$

4. Etablir le tableau de variation de la fonction $f_{n}$ et calculer sa valeur maximale en fonction de $n$.

II : Représentation graphique de quelques fonctions $f_{n}$

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec{\imath} ,\vec{\jmath})$ ( unité graphique : 5 cm ). On note $(C_{n})$ la courbe représentative de la fonction $f_{n}$ dans ce repère.

1. Tracer $\left( C_{2}\right)$ et $\left( C_{3}\right) .$

2. 1. Calculer $f_{n+1}\left( x\right) -f_{n}\left( x\right) .$ Cette différence est-elle dépendante de l'entier $n$ ?

   2. Expliquer comment il est possible de construire point par point la courbe $\left( C_{n}\right)$ à partir de $\left( C_{2}\right)$ et $\left( C_{3}\right) .$

PARTIE B

Calculs d'aires

1. Calculer, en intégrant par parties, l'intégrale :
   $$I=\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x^{2}}\,dx$$

2. En déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine plan limité par les courbes $\left( C_{n}\right)$ et $\left( C_{n+1}\right)$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=e.$

3. On note $A_{n}$ l'aire, en unités d'aire, du domaine limité par la courbe $\left( C_{n}\right)$ et les droites d'équations $y=0,$ $x=1$ et $x=e.$
   1. Calculer $A_{2}.$

   2. Déterminer la nature de la suite $\left( A_{n}\right)$ en précisant l'interprétation graphique de sa raison.

PARTIE C

Etude sur l'intervalle $\left] 1;+\infty\right[$ de l'équation $f_{n}\left( x\right) =1$.

Dans toute la suite, on prendra $n\geqslant3.$

1. 1. Vérifier que, pour tout $n,$
      $$e^{\frac{n-2}{2n}}>1$$ et $$f_{n}\left( e^{\frac{n-2}{2n}}\right) >1$$

   2. Vérifier que l'équation $f_{n}\left( x\right) =1$ n'a pas de solution sur l'intervalle $\left] 1;e^{\frac{n-2}{2n}}\right[ .$

2. Montrer que l'équation $f_{n}\left( x\right) =1$ admet sur l'intervalle $\left[ e^{\frac{n-2}{2n}};+\infty\right[$ exactement une solution notée $\alpha_{n}.$

3. On se propose de déterminer la limite de la suite $\left( \alpha_{n}\right) .$
   1. Calculer $f_{n}\left( \sqrt{n}\right)$ et montrer que, pour $n>e^{2},$ on a $f_{n}\left( \sqrt{n}\right) \geqslant1.$

   2. En déduire que, pour $n\geqslant8,$ on a $\alpha_{n}\geqslant \sqrt{n}$ et donner la limite de la suite $\left( \alpha_{n}\right) .$

Exercice 3.24  

Le plan est muni d'un repère orthonormal $\mathcal{R}=\left( O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$. L'unité graphique est $1$ cm.

PARTIE A

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f\left( x\right) =\left( x^{2}-3x+1\right) e^{x}%%$$

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère $\mathcal{R}$.

1. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.

2. 1. Etudier le sens de variation de $f$ et donner le tableau de variation de $f$.

   2. Tracer $\mathcal{C}$.

3. Soit
   $$I=\int_{-3}^{0}f\left( x\right) \,dx$$
   1. Interpréter graphiquement $I$.

   2. En utilisant l'intégration par parties, calculer
      $$\int_{-3}^{0}xe^{x}dx$$
      puis
      $$\int_{-3}^{0}x^{2}e^{x}dx$$

   3. En déduire la valeur exacte de $I$.

PARTIE B

1. Soit $a$ et $b$ deux nombres réels et $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
   $$g\left( x\right) =e^{\left( x^{2}+ax+b\right) }%%$$
   Quelles sont les valeurs de $a$ et de $b$ pour lesquelles le tableau de variation de $g$ est celui donné ci-dessous ?
   $$%% \begin{tabular}[c]{l\vert lllll}%% $x$\ & $-\infty$\ & & $\fra... ...& $\searrow$\ & & $\nearrow$\ & \\ & & & $e^{-\frac{5}{4}}$\ & & \end{tabular}$$

2. Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
   $$h\left( x\right) =e^{\left( x^{2}-3x+1\right) }%%$$
   et $\Gamma$ sa courbe représentative dans le repère $\mathcal{R}$.
   1. Démontrer que la droite $D$ d'équation $x=\frac{3}{2}$ est axe de symétrie de $\Gamma$.

   2. Justifier l'affirmation suivante : '' 3,2 est une valeur approchée à $10^{-1}$ près d'une solution de l'équation $h\left( x\right) =5$ ''

   3. Soit $\alpha$ un nombre dont 1,7 est une valeur approchée à 0,5 près. Etablir que
      $$0,28\leqslant h\left( \alpha\right) \leqslant0,47$$

PARTIE C

Soit $u$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous ( $a,$ $b$ et $c$ étant trois nombres réels ).

$$%% \begin{tabular}[c]{l\vert ccccccccc}%% $x$\ & $-\infty$\ & & $... ... & & $\searrow$\ & & $\nearrow$\ & & & \\ & & & & & $c$\ & & & & \end{tabular}$$

Soit $v_{1},$ $v_{2},$ $v_{3}$ les fonctions définies par :

$$v_{1}\left( x\right) =e^{u\left( x\right) }\qquad v_{2}\left( x\right) =u\left( e^{x}\right) \qquad v_{3}\left( x\right) =u\left( x\right) e^{x}%%$$

1. Déterminer le sens de variation des fonctions $v_{1}$ et $v_{2}$ ( en justifiant votre réponse ).

2. Indiquer un intervalle sur lequel il est possible de donner le sens de variation de la fonction $v_{3}$ ( en justifiant votre réponse ).