Définitions

Définition 7.1   Soit $\left( u_{n}\right)$ une suite d'éléments de $\mathbb{R}.$ Pour tout $n$ de $\mathbb{N},$ on désigne par

$$S_{n}=\sum_{k=0}^{n}u_{k}=u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{n}$$

la somme des $\left( n+1\right)$ premiers termes de cette suite. On dit que la série de terme général $u_{n},$ en abrégé $\sum u_{n}$, est convergente si la suite $\left( S_{n}\right)$ admet une limite dans $\mathbb{R}. \index{Série!convergente}$

Définition 7.2   Dans ce cas, la limite de la suite $\left( S_{n}\right)$ s'appelle la somme de la série $\sum u_{n}$ et se note

$$\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}=\lim_{n\rightarrow+\infty}S_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\left( u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{n}\right)$$

Définition 7.3   On appelle somme partielle d'ordre $n$ de la série $\sum u_{n}$ le réel $S_{n}. \index{Somme!partielle}$

Définition 7.4   Lorsque la suite $\left( S_{n}\right)$ n'a pas de limite, on dit que la série $\sum u_{n}$ est divergente.

Définition 7.5   Lorsque la série $\sum u_{n}$ est convergente, on appelle, pour tout entier $n,$ reste d'ordre $n$ de la série le réel $R_{n}$ défini par :

$$R_{n}=\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}-S_{n}=\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}-\sum _{k=0}^{+\infty}u_{k}=\sum_{k=n+1}^{n}u_{k}=u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots$$