Séries de Riemann

Définition 7.8   On appelle série de Riemann la série de terme général $u_n=\frac{1}{n^\alpha}$ avec $\alpha$ réel.

On pose pour tout $n>0$ :

$$S_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}$$

En utilisant une interprétation géométrique en termes d'aires, on montre facilement l'encadrement :

$$\int_{1}^{n+1}\frac{dt}{t^{\alpha}}\leqslant S_{n}\leqslant1+\int_{1}^{n} \frac{dt}{t^{\alpha}}$$

La suite $\left( S_{n}\right)$ est croissante et positive. Par intégration, on montre qu'elle converge si et seulement si $\alpha>1$.

Théorème 7.2   La série de terme général $u_{n}=\frac{1}{n^{\alpha}}$ converge si et seulement si $\alpha>1$.