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Séries de Riemann

Définition 7.8   On appelle série de Riemann la série de terme général $ u_n=\frac{1}{n^\alpha} $ avec $ \alpha$ réel.

On pose pour tout $ n>0$ :

$\displaystyle S_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}
$

En utilisant une interprétation géométrique en termes d'aires, on montre facilement l'encadrement :

$\displaystyle \int_{1}^{n+1}\frac{dt}{t^{\alpha}}\leqslant S_{n}\leqslant1+\int_{1}^{n}
\frac{dt}{t^{\alpha}}
$

La suite $ \left( S_{n}\right) $ est croissante et positive. Par intégration, on montre qu'elle converge si et seulement si $ \alpha>1$.

Théorème 7.2   La série de terme général $ u_{n}=\frac{1}{n^{\alpha}}$ converge si et seulement si $ \alpha>1$.



Michel 2002-08-06