Séries de Taylor

Les séries de Taylor s'obtiennent à partir de la formule de Taylor :

Théorème 7.1   Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{n}$ sur $\left[ a,b\right] ,$ et $\left( n+1\right)$ fois dérivable sur $\left] a,b\right[ .$ Il existe un réel $c$ de $\left] a,b\right[$ tel que

$$f\left( b\right) =\sum_{k=0}^{n}\frac{\left( b-a\right) ^{k}} {k!... ... b-a\right) ^{n+1} }{\left( n+1\right) !}f^{\left( n+1\right) }\left( c\right)$$

Exercice 7.5   Déterminer le développement de Taylor à l'ordre $n$ de la fonction exponentielle sur l'intervalle d'extrémités $x$ et $0.$ En déduire la convergence et la valeur de la somme de la série

$$\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k!}$$