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Séries de Taylor

Les séries de Taylor s'obtiennent à partir de la formule de Taylor :

Théorème 7.1   Soit $ f$ une fonction de classe $ \mathcal{C}^{n}$ sur $ \left[ a,b\right] ,$ et $ \left( n+1\right) $ fois dérivable sur $ \left] a,b\right[ .$ Il existe un réel $ c$ de $ \left]
a,b\right[ $ tel que

$\displaystyle f\left( b\right) =\sum_{k=0}^{n}\frac{\left( b-a\right) ^{k}}
{k!...
... b-a\right) ^{n+1}
}{\left( n+1\right) !}f^{\left( n+1\right) }\left( c\right)
$

Exercice 7.5   Déterminer le développement de Taylor à l'ordre $ n$ de la fonction exponentielle sur l'intervalle d'extrémités $ x$ et $ 0.$ En déduire la convergence et la valeur de la somme de la série

$\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k!}
$



Michel 2002-08-06