Séries télescopiques

Définition 7.7   On désigne par série téléscopique toute série dont le terme général $u_{n}$ peut s'écrire $f\left( n+1\right) -f\left( n\right)$ $\,$ où $f$ est une fonction donnée.

Calculons la somme partielle d'ordre $n$ d'une série télescopique. On a :

$$S_{n}=\sum_{k=0}^{n}u_{k}=\sum_{k=0}^{n}\left( f\left( k+1\right) -f\left( k\right) \right) =f\left( n+1\right) -f\left( 0\right)$$

On constate donc que si $f$ admet une limite finie $l$ en $+\infty,$ alors la série associée est convergente, et que la valeur de sa somme est égale à $\left( l-f\left( 0\right) \right) .$

Exercice 7.3   Démontrer que la série de terme général défini pour tout $n$ de $\mathbb{N}^{\ast}$ par

$$u_{n}=\frac{1}{n\left( n+1\right) }$$

est une série télescopique. En déduire qu'elle est convergente et déterminer la valeur de sa somme.

Exercice 7.4   Etudier de la même manière la série de terme général défini pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ par

$$v_{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$