Exemple de variable aléatoire continue

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On peut être amené à étudier des variables aléatoires pouvant prendre, au moins théoriquement, n'importe quelle valeur dans $\mathbb{R}$ ou un intervalle de $\mathbb{R}$. Par exemple, considérons la variable aléatoire $X$ mesurant la durée de bon fonctionnement, en jours, d'un équipement particulier fabriqué en grande série, avec l'intervalle $\left[0,+\infty \right[$. Pour une telle variable, les évènements intéressants sont par exemple $X\leqslant 400$, ou $400\leqslant X\leqslant 1200$. Dans ce cas, la fonction de répartition joue un rôle fondamental et permet de calculer des probabilités. On suppose que cette fonction de répartition $F$ est définie par :

$$\left\{ \begin{array}{l} \textrm{pour tout }x<0\: F(x)=0\\ \textrm{pour tout }x\geqslant 0\: F(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt\end{array}\right.$$

où pour tout $t\geqslant 0$ :

$$f(t)=0,002e^{-0,002t}$$

Ainsi, pour tout $x$ positif, $F(x)$ est l'aire de la portion de plan en grisé sur la figure ci-dessous :

On en déduit que

$$P(X\leqslant 400)=F(400)\thickapprox 0,55$$

En utilisant l'évènement contraire de $X>1000$, nous obtenons que

$$P(X>1000)=1-P(X\leqslant 1000)1-F(1000)\thickapprox 0,14$$

Pour calculer

$$P(400<X\leqslant 1200)$$

remarquons que

$$F(1200)=P(X\leqslant 1200)=P(X\leqslant 400\textrm{ ou }400<X\leqslant 1200)=P(X\leqslant 400)+P(400<X\leqslant 1200)$$

car les deux évènements $X\leqslant 400$ et $400<X\leqslant 1200$ sont incompatibles. On en déduit alors :

$$P(400<X\leqslant 1200)=F(1200)-F(400)\thickapprox 0,36$$

Nous admettrons que $P(X=400)=0$ et de manière générale, que pour tout $x\geqslant 0$, $P(X=x)=0$. En conclusion, pour tout $a$ et $b$ tels que $0\leqslant a\leqslant b$,

$$P(a\leqslant X\leqslant b)=F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(t)dt$$

Définition 5   La fonction $f$ définie pour tout $t$ positif par

$$f(t)=0,002e^{-0,002t}$$

est la densité de probabilité de la variable aléatoire $X$.

C'est une fonction telle que pour tout $t$ positif, on ait $f(t)\geqslant 0$. D'autre part, nous avons vu que pour tout $x\geqslant 0$ :

$$F(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt=1-e^{-0,002x}$$

donc

$$\lim _{x\rightarrow +\infty }F(x)=1\Leftrightarrow \lim _{x\rightarrow +\infty }\int _{0}^{x}f(t)dt=1$$

On convient d'écrire ce résultat

$$\int _{0}^{+\infty }f(t)dt=1$$

Comme la fonction $f$ est nulle sur $\left]-\infty ,0\right]$, on écrit :

$$\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)dt=1$$

Pour la même raison, nous pouvons écrire que pour tout $x$ réel

$$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)dt$$

Définition 6   La variable aléatoire $X$ est dite continue s'il existe une fonction $f$ positive et continue sur $\mathbb{R}$, appelée densité de probabilité de $X$, telle que

$$\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)dt=1$$

Proposition 1   On a alors les propriétés suivantes :

$$\begin{array}{l} P(X\leqslant a)=\int _{-\infty }^{a}f(t)dt... ...slant X\leqslant b)=\int _{a}^{b}f(t)dt\\ P(X=a)=0\end{array}$$

Définition 7   On appelle fonction de répartition de la variable aléatoire $X$ la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)dt$$

On peut remarquer que cette fonction de répartition est une primitive de $f$, ce qui pemet d'écrire la proposition sous la forme suivante :

$$\begin{array}{l} P(X\leqslant a)=F(a)\\ P(a\leqslant X\leqslant b)=F(b)-F(a)\\ P(X>a)=1-F(a)\end{array}$$