Distribution d'échantillonnnage asymptotique de la moyenne

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Considérons une population d'effectif $N$, de moyenne $m$ et d'écart-type $\sigma$. Prélevons, dans cette population, un échantillon de taille $n$. On note $\overline{x}$ la moyenne de cet échantillon et $\sigma '$ son écart-type. Considérons les $n$ variables aléatoires $X_{1}$, $X_{2}$, ..., $X_{n}$ où chaque variable aléatoire $X_{i}$ associe au $i$-ième tirage le nombre correspondant à l'élément choisi. Si nous supposons que le tirage des $n$ éléments de l'échantillon a été effectué avec remise, alors la variables aléatoires $X_{i}$ sont indépendantes. Elles suivent toutes la même loi, ont toutes la même moyenne $m$ et le même écart-type $\sigma$. La variable aléatoire

$$\overline{X}=\frac{X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}$$

associe alors à cet échantillon sa moyenne $\overline{x}$. Plus généralement, $\overline{X_{n}}$ associe à tout échantillon de taille $n$ la moyenne de cet échantillon. $\overline{X_{n}}$ prend pour valeurs les moyennes $\overline{x_{1}}$, $\overline{x_{2}}$, ..., $\overline{x_{n}}$ de tous les échantillons de même effectif $n$, prélevés avec remise dans la population. D'après le théorème de la limite centrée, pour $n$ suffisamment grand, $\overline{X_{n}}$ suit approximativement la loi normale $\mathcal{N}\left(m,\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right)$. On simplifiera les notations en écrivant $\overline{X}$ à la place de $\overline{X_{n}}$, car il n'y a pas de risque de confusion.

Théorème 13   On considère une population de moyenne $m$ et d'écart-type $\sigma$. Soit $\overline{X}$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire prélevé avec remise et d'effectif $n$ fixé, associe la moyenne de cet échantillon. Pour $n$ suffisamment grand, $\overline{X}$ suit approximativement la loi normale $\mathcal{N}\left(m,\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right)$.

Dans la plupart des cas, on considère que $n$ est suffisamment grand lorsque $n\geqslant 30$.