Fréquence

$\;$

Soit $p$ la fréquence inconnue des éléments de la population qui vérifient une certaine propriété. Soit $F$ la variable aléatoire qui, à chacun des échantillons prélevés associe la fréquence des éléments de cet échantillon vérifiant une certaine propriété. $F$ prend successivement les valeurs $f_{1}$, $f_{2}$, etc... La variable aléatoire $F$ peut être considérée comme suivant la loi normale

$$\mathcal{N}\left(p,\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)$$

En effectuant des calculs analogues à ceux du paragraphe précédent, on obtient :

$$P\left(F-1,96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\leqslant p\leqslant F+1,96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)=0,95$$

Or, la constante inconnue $p$ figure aussi dans $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$, écart-type de $F$, qui intervient dans l'encadrement de $p$. Pour $n$ sufffisamment grand, on peut remplacer dans l'expression $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ l'inconnue $p$ par son estimation ponctuelle $f$. D'autre part, puisque $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ est un écart-type, on doit multiplier par $\sqrt{\frac{n}{n-1}}$ l'estimation ponctuelle $\sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}$ d'après le cours précédent, et donc on obtient $\sqrt{\frac{f(1-f)}{n-1}}$. En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante :

Proposition 11   L'intervalle

$$\left[f-t\sqrt{\frac{f(1-f)}{n}};f+t\sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}\right]$$

est l'intervalle de confiance d'une fréquence $p$ de la population avec le coefficient de confiance $2\Pi (t)-1$, ayant pour centre la fréquence analogue $f$ de l'échantillon considéré.

Il existe deux cas particuliers usuels :

• pour le coefficient de confiance 95%, $t$ vaut 1,96
• pour le coefficient de confiance 99%, $t$ vaut 2,58.

Dans le cas où $n$ n'est pas petit par rapport à l'effectif $N$ de la population et où le tirage des éléments d'un échantillon est sans remise, alors l'écart-type de $F$ est :

$$\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\times \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$$

Exercice 14  

Une entreprise de matériel pour l'industrie produit des modules constitués de deux types de pièces : $P_{1}$ et $P_{2}$.

1. Une pièce $P_{1}$ est considérée comme bonne si sa longueur, en centimètres, est comprise entre $293,5$ et $306,5$. On note $L$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce $P_{1}$ choisie au hasard dans la production d'une journée, associe sa longueur. On suppose que $L$ suit une loi normale de moyenne $300$ et d'écart type $3$.
   Déterminer, à $10^{-2}$ près, la probabilité qu'une pièce $P_{1}$ soit bonne.
2. On note $A$ l'événement : '' une pièce $P_{1}$ choisie au hasard dans la production des pièces $P_{1}$ est défectueuse '' On note de même $B$ l'événement : '' une pièce $P_{2}$ choisie au hasard dans la production des pièces $P_{2}$ est défectueuse ''.
   On admet que les probabilités des deux événements $A$ et $B$ sont $p(A)=0,03$ et $p(B)=0,07$ et on suppose que ces deux événements sont indépendants.
   Un module étant choisi au hasard dans la production, calculer, à $10^{-4}$ près, la probabilité de chacun des événements suivants :
   1. $E_{1}$ : '' les deux pièces du module sont défectueuses. ''
   2. $E_{2}$ : '' au moins une des deux pièces du module est défectueuse. ''
   3. $E_{3}$ : '' aucune des deux pièces constituant le module n'est défectueuse. ''
3. Dans un important stock de ces modules, on prélève au hasard 10 modules pour vérification. Le stock est assez important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $10$ modules.
   On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $10$ modules associe le nombre de modules réalisant l'événement $E_{3}$ défini au 2. On suppose que la probabilité de l'événement $E_{3}$ est $0,902$.
   1. Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binômiale ; déterminer les paramètres de cette loi.
   2. Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que, dans un tel prélèvement, $9$ modules au moins réalisent l'événement $E_{3}$.
4. Dans cette question on s'intéresse au diamètre des pièces $P_{2}$.
   Soit $\overline{X}$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $60$ pièces $P_{2}$ prélevées au hasard et avec remise dans la production de la journée considérée, associe la moyenne des diamètres des pièces de cet échantillon. On suppose que $\overline{X}$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart-type $\frac{\sigma }{\sqrt{60}}$ avec $\sigma =0,084.$
   On mesure le diamètre, exprimé en centimètres, de chacune des $60$ pièces $P_{2}$ d'un échantillon choisi au hasard et avec remise dans la production d'une journée.
   On constate que la valeur approchée arrondie à $10^{-3}$ près de la moyenne $\overline{x}$ de cet échantillon est $\overline{x}=4,012$.
5. À partir des informations portant sur cet échantillon, donner une estimation ponctuelle, à $10^{-3}$ près, de la moyenne $\mu$ des diamètres des pièces $P_{2}$ produites pendant cette journée.
6. Déterminer un intervalle de confiance centré en $\overline{x}$ de la moyenne $\mu$ des diamètres des pièces $P_{2}$ produites pendant la journée considérée, avec le coefficient de confiance de $95\%$.
7. On considère l'affirmation suivante : " la moyenne $\mu$ est obligatoirement entre $3,991$ et $4,033$ ". Peut-on déduire de ce qui précède qu'elle est vraie ?

Exercice 15   Exercice 1 du bts mai session 2002

Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.

Dans un groupe d'assurances, on s'intéresse aux sinistres susceptibles de survenir, une année donnée, aux véhicules de la flotte d'une importante entreprise de maintenance de chauffage collectif.

Dans cet exercice, sauf mention contraire, les résultats approchés sont à arrondir à 10$^{-3}$.

1. Etude du nombre de sinistres par véhicule
   Soit $X$ la variable aléatoire qui, à tout véhicule tiré au hasard dans un des parcs de la flotte, associe le nombre de sinistres survenant pendant l'année considérée. On admet que $X$ suit la loi de Poisson de paramètre 0,28.
   1. Calculer la probabilité de l'évènement A : '' un véhicule tiré au hasard dans le parc n'a aucun sinistre pendant l'année considérée ''
   2. Calculer la probabilité de l'évènement B : '' un véhicule tiré au hasard dans le parc a, au plus, deux sinistres pendant l'année considérée ''
2. Etude du nombre de sinistres dans une équipe de 15 conducteurs.
   On note E l'évènement : '' un conducteur tiré au hasard dans l'ensemble des conducteurs de l'entreprise n'a pas de sinistre pendant l'année considérée. On suppose que la probabilité de l'évènement E est 0,6.
   On tire au hasard 15 conducteurs dans l'effectif des conducteurs de l'entreprise. Cet effectif est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 15 conducteurs.
   On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 15 conducteurs, associe le nombre de conducteurs n'ayant pas de sinistre pendant l'année considérée.
   1. Justifier que la variable aléatoire $Y$ suite une loi binomiale et déterminer ses paramètres.
   2. Caculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, 10 conducteurs n'aient pas de sinistre pendant l'année considérée.
3. Etude du coût des sinistres
   Dans ce qui suit, on s'intéresse au coût d'une certaine catégorie de sinistres survenus dans l'entreprise pendant l'année considérée.
   On considère la variable aléatoire $C$ qui, à chaque sinistre tiré au hasard parmi les sinistres de cette catégorie, associe son coût en euros. On suppose que $C$ suit la loi normale de moyenne 1200 et d'écart type 200.
   Calculer la probabilité qu'un sinistre tiré au hasard parmi les sinistres de ce type coûte entre 1000 euros et 1500 euros.
4. On considère un échantillon de 100 véhicules prélevés au hasard dans le parc de véhicules mis en service depuis 6 mois. Ce parc contient suffisamment de véhicules pour qu'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise. On constate que 91 véhicules de cet échantillon n'ont pas eu de sinistre.
   1. Donner une estimation ponctuelle du pourcentage $p$ de véhicules de ce parc qui n'ont pas eu de sinistre 6 mois après leur mise en service.
   2. Soit $F$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de 100 véhicules prélevés au hasard et avec remise dans ce parc, associe le pourcentage de véhicules qui n'ont pas eu de sinistre 6 mois après leur mise en service.
      On suppose que $F$ suit la loi normale
      $$N\left(p,\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{100}}\right)$$
      où $p$ est le pourcentage inconnu de véhicules du parc qui n'ont pas eu de sinistre 6 mois après leur mise en service.
      Déterminer un intervalle de confiance du pourcentage $p$ avec le coefficient de confiance 95%.
   3. On considère l'affirmation suivante :
      '' le pourcentage $p$ est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question b) ''
      Est-elle vraie ? On ne demande pas de justification.