Moyenne

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Dans la situation de l'exemple , plutôt que d'estimer à 774,7 grammes la moyenne inconnue $m$ des masses des 500 pièces, nous allons mettre en oeuvre une méthode permettant d'obtenir des intervalles qui, dans un grand pourcentage de cas choisi à l'avance, par exemple 95% ou 99%, contiennent la moyenne inconnue $m$ de la population.

Imaginons, que dans la population des 500 pièces, on prélève au hasard et avec remise une succession d'échantillons de même effectif $n=36$ dont on calcule les moyennes respectives $\overline{x_{1}}$ pour le premier échantillon, $\overline{x_{2}}$ pour le deuxième échantillon, et ainsi de suite. De plus, on suppose que l'écart-type $\sigma$ de cette population est connu et égal à 12,5 grammes. Soit $\overline{X}$ la variable aléatoire qui, à chacun de ces échantillons de taille 36 associe la moyenne de cet échantillon. $\overline{X}$ prend successivement les valeurs $\overline{x_{1}}$ , $\overline{x_{2}}$, ...

On suppose que les conditions sont réunies pour pouvoir utiliser une conséquence du théorème de la limité centrée et faire l'approximation que la variable aléatoire $\overline{X}$ suit la loi normale $\mathcal{N}\left(m,\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right)$ . Dans ce cas, la variable aléatoire

$$\frac{\overline{X}-m}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\frac{\sqrt{n}}{\sigma }\left(\overline{X}-m\right)$$

suit la loi normale centrée réduite. Dans ce cas, on a pour tout $t\geqslant 0$ :

$$P\left(-t\leqslant T\leqslant t\right)=2\Pi (t)-1$$

Par exemple, $2\Pi (t)-1=0,95\Leftrightarrow \Pi (t)=0,975\Leftrightarrow t\backsimeq 1,96$. On en déduit donc ;

$$P\left(-1,96\leqslant \frac{\sqrt{n}}{\sigma }\left(\overline{X}-... ...t{n}}\leqslant \overline{X}\leqslant m+1,96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right)=0,95$$

Cette égalité signifie que, avant de prélever un échantillon de taille $n$ dans la population, il y a 95 chances sur 100 pour que la variable aléatoire $\overline{X}$ prenne une valeur comprise dans l'intervalle

$$\left[m-1,96\frac{\sigma }{\sqrt{n}};m+1,96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right]$$

Comme le nombre $m$ est inconnu, on utilise les résultats précédents pour encadrer $m$ :

$$P\left(-1,96\leqslant \frac{\sqrt{n}}{\sigma }\left(\overline{X}-... ...t{n}}\leqslant m\leqslant \overline{X}+1,96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right)=0,95$$

Dans cette égalité, $m$ est une constante inconnue et la probabilité 0,95 concerne la variable aléatoire $\overline{X}$ qui permet de définir les variables aléatoires $\overline{X}-1,96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ et $\overline{X}+1,96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$. Ainsi, avant de prélever un échantillon, de taille $n$ dans la population, il y a 95 chances sur 100 pour que, d'une part la variable aléatoire $\overline{X}-1,96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ prenne une valeur inférieure à $m$, et d'autre part, que la variable aléatoire $\overline{X}+1,96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ prenne une valeur supérieure à $m$.

En revanche, après le prélèvement d'un échantillon, il n'y a plus de probabilités à envisager. Il est vrai ou faux de dire que la moyenne $m$ de la population est située dans l'intervalle fixe

$$\left[\overline{x}-1,96\frac{\sigma }{\sqrt{n}};\overline{x}+1,96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right]$$

Dans le cas de l'exemple , on a $n=36$, $\overline{x}\backsimeq 774,7$ et $\sigma \backsimeq 12,5$ donc

$$\left[\overline{x}-1,96\frac{\sigma }{\sqrt{n}};\overline{x}+1,96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right]=\left[770,61;778,79\right]$$

Définition 19   Cet intervalle est appelé intervalle de confiance de la moyenne de la population avec le coefficient de confiance 95 % ( ou avec le risque de 5 % ).

Remarquons que cet intervalle de confiance de la moyenne $m$ de la population a pour centre la moyenne $\overline{x}$ de l'échantillon qui sert à le définir. Avec d'autres échantillons, on obtiendrait de nouveaux intervalles de confiance.

Si on prélevait un très grand nombre de tels échantillons, environ 95 pour 100 d'entre eux contiendraient la moyenne inconnue $m$ de la population. En fait, on n'en prélève qu'un seul, et on ne peut pas savoir si celui-ci contient ou non le nombre $m$, mais la méthode mise en oeuvre permet d'obtenir un intervalle contenant $m$ dans 95 cas sur 100.

De manière générale, on peut donc énoncer :

Définition 20   L'intervalle

$$\left[\overline{x}-t\frac{\sigma }{\sqrt{n}};\overline{x}+t\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right]$$

est l'intervalle de confiance de la moyenne $m$ de la population avec le coefficient de confiance $\left(2\Pi (t)-1\right)$, ayant pour centre la moyenne $\overline{x}$ de l'échantillon considéré.

Lorsque l'effectif $n$ de l'échantillon est suffisamment grand, on peut prendre pour valeur de $\sigma ,$ si on ne le connait pas, son estimation ponctuelle.

Dans le cas où $n$ n'est pas petit par rapport à l'effectif $N$ de la population et où le tirage des éléments d'un échantillon se fait sans remise, l'écart-type de $\overline{X}$ est

$$\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\times \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$$

On ne peut pas savoir si la moyenne $m$ de la population appartient ou non à l'intervalle de confiance associé au seul échantillon prélevé. D'autre part, si $m$ appartient à cet intervalle, $m$ n'a pas plus de raison d'être près du centre $\overline{x}$ de l'intervalle que près d'une de ses extrémités ou en tout autre endroit de l'intervalle.