Probabilité image définie par une variable aléatoire

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Un joueur préfère maintenant, avant de jouer, connaître la probabilité de gagner 12 euros plutôt que celle de tirer une boule de telle couleur. On va donc construire, à partir de la probabilité $P$ définie sur $\Omega$, une nouvelle probabilité $P'$ définie sur

$$X(\Omega )=\left\{ -8,-3,2,7,12\right\}$$

Pour toute partie $E$ de $X(\Omega )$, on veut définir une probabilité $P'(E)$ à l'aide de $P$ et de $X$. Par exemple, le singleton $\left\{ 2\right\}$ de $X(\Omega )$ est l'image par $X$ de la partie $\left\{ (B,R),(V,V),(R,B)\right\}$ de $\Omega$. Comme

$$P\left\{ (B,R),(V,V),(R,B)\right\} =\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$

on est conduit à poser $P'\left(\left\{ 2\right\} \right)=\frac{1}{3}$. De même, l'évènement $G$ ``avoir un gain positif `` est l'image par $X$ de la partie

$$\left\{ (R,R),(V,R),(R,V),(B,R),(V,V),(R,B)\right\}$$

et donc on a $P'(G)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.

D'une manière générale, soit $P'$ l'application qui, à toute partie $A$ de $X(\Omega )$ associe le nombre

$$P'(A)=P\left(\left\{ w\in \Omega ;X(\omega )\in A\right\} \right)$$

On peut démontrer que $P'$ vérifie les axiomes d'une probabilité définie sur $X(\Omega )$, c'est à dire que

• $P'(X(\Omega ))=1$
• Pour toutes parties $A$ et $B$ de $X(\Omega )$ disjointes, on a $P'(A\cup B)=P'(A)+P'(B)$.

Définition 2   $P'$ est la probabilité image de la probabilité $P$ par la variable aléatoire $X$.

On conviendra d'utiliser la notation suivante :

$$P'\left(\left\{ 2\right\} \right)=P\left(\left\{ w\in \Omega ;X(\omega )=2\right\} \right)=P\left(X=2\right)$$

D'une manière générale, pour tout nombre $k$ de $X(\Omega )$, on note $P(X=k)$ le nombre

$$P'\left(\left\{ k\right\} \right)=P\left(\left\{ w\in \Omega ;X(\omega )=k\right\} \right)=P\left(X=k\right)$$