Correction de l'exercice

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On pose $T=\frac{X-54}{0,2}.$ $T$ suit $\mathcal{N}\left(0,1\right)$ et $X=54+0.2T.$

1. $p\left(53,6\leqslant X\leqslant 54,30\right)=p\left(-2\leqslant T\leqslant 1.5... ...ght)-\Pi \left(-2\right)=\Pi \left(1.5\right)-\left(1-\Pi \left(2\right)\right)$ qui est donc la probabilité qu'une pièce soit bonne.
2. La probabilité qu'une pièce soit défectueuse est donc de $1-0.\, \allowbreak 910\, 4\simeq 0\allowbreak .0\, \allowbreak 896,$ c'est à dire qu'il y a 8,9 % de pièces défectueuses.
3. $p\left(54-h\leqslant X\leqslant 54+h\right)=0,95\Leftrightarrow p\left(\frac{-... ...rightarrow \Pi \left(\frac{h}{0.2}\right)-\Pi \left(-\frac{h}{0.2}\right)=0,95.$ Ceci équivaut à $\Pi \left(\frac{h}{0.2}\right)-\left(1-\Pi \left(\frac{h}{0.2}\right)\right)=0,95,$ d'où $\Pi \left(\frac{h}{0.2}\right)=0.\, \allowbreak 975.$ Par lecture inverse de la table de la loi normale centrée réduite, on obtient $\frac{h}{0.2}\simeq 1.96,$ d'où $h\simeq 0.392.$ Les côtes d'alerte sont donc égales à $53,61$ et $54,40$ millimètres.