Correction de l'exercice

1. On a :
   $$p\left(A\right)=p\left(X=0\right)=e^{-0,28}\frac{\left(0,28\right)^{0}}{0!}\simeq 0,756$$
   1. L'évènement B est l'union des évènements deux à deux incompatibles '' un véhicule tiré au hasard dans la parc a eu exactement 0 sinistre pendant l'année considérée '', '' un véhicule tiré au hasard dans la parc a eu exactement 1 sinistre pendant l'année considérée '' et '' un véhicule tiré au hasard dans la parc a eu exactement 2 sinistres pendant l'année considérée ''. Donc
      $$\begin{array}{c} p\left(B\right)=p\left(X=0\right)+p\left(X... ...28}\frac{\left(0,28\right)^{2}}{2!}\\ \simeq 0,997\end{array}$$

   2. Nous avons une suite de 15 épreuves de Bernouilli indépendantes. Chaque épreuve n'a que deux issues possibles : soit l'évènement E est réalisé avec une probabilité de 0,6, soit il n'est pas réalisé avec une probabilité de 0,4. Ceci prouve que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale de paramètres 15 et 0,6.
   3. On veut calculer la probabilité de l'évènement :
      $$p\left(Y=10\right)=C_{15}^{10}\times \left(0,6\right)^{10}\times \left(0,4\right)^{5}\simeq 0,186$$

2. Puisque $C$ suit la loi normale de moyenne 1200 et d'écart type 200, la variable aléatoire $D$ définie par
   $$D=\frac{C-1200}{200}$$
   suit la loi normale centrée réduite. On trouve alors
   $$C=1200+200D$$
   ce qui permet facilement d'en déduire :
   $$1000\leq C\leq 1500\Leftrightarrow -1\leq D\leq \frac{3}{2}$$
   Il vient alors, en utilisant le formulaire :
   $$\begin{array}{c} p\left(1000\leq C\leq 1500\right)=p\left(-... ...(\frac{3}{2}\right)+\Pi \left(1\right)-1\simeq 0,775\end{array}$$
   1. L'estimation ponctuelle est donnée par le pourcentage obtenu sur l'échantillon prélevé :
      $$f=\frac{91}{100}=0,91$$

   2. On pose :
      $$T=\frac{F-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{100}}}$$
      $T$ suit la loi normale centrée réduite. L'intervalle de confiance pour $T$ à 95% est défini par :
      $$p\left(-t\leq T\leq t\right)=0,95\Leftrightarrow 2\Pi \left(t\right)-1=0,95\Leftrightarrow \Pi \left(t\right)=0,975\Leftrightarrow t\simeq 1,96$$
      en utilisant le formulaire. On en déduit :
      $$p\left(-1,96\leq T\leq 1,96\right)=0,95\Leftrightarrow p\left(-1,96\leq \frac{F-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{100}}}\leq 1,96\right)=0,95$$
      Afin de pouvoir obtenir un intervalle de confiance, il nous faut dans ce cas approximer l'écart-type $\sqrt{\frac{p(1-p)}{100}}$ de $F$ par $\sigma ,$ qui d'après le cours vaut
      $$\sigma =\sqrt{\frac{n}{n-1}}\times \sqrt{\frac{f\left(f-1\right)}... ...\frac{0.91\times (1-0.91)}{100-1}}\simeq 2.\, \allowbreak 876\, 2\times 10^{-2}$$
      On en déduit ensuite :
      $$p\left(-1,96\leq \frac{F-p}{\sigma ^{\prime }}\leq 1,96\right)=0,... ...sigma ^{\prime }\leqslant F\leqslant p+1,96\times \sigma ^{\prime }\right)=0,95$$
      On utilise l'estimation ponctuelle de $p,$ à savoir que $p\simeq 0,91$ pour trouver que

      $$p-1,96\times \sigma ^{\prime } =0.91-1.96\times 2.\, \allowbreak 876\, 2\times 10^{-2}\simeq 0.\, \allowbreak 853\, 63$$

      $$p+1,96\times \sigma ^{\prime } =0.91+1.96\times 2.\, \allowbreak 876\, 2\times 10^{-2}\simeq 0.\, \allowbreak 966\, 37$$

      
      
      En conclusion, l'intervalle de confiance cherché est :
      $$\left[0,853;0,967\right]$$

   3. Cette affirmation est fausse d'après le cours.