Correction de l'exercice

1. La variable $L$ suit la loi normale $\mathcal{N}(300,3)$, donc la variable $T$ définie par $T=\frac{L-300}{3}$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$. Il vient alors

   $$p\left(293,5\leqslant L\leqslant 306,5\right) =p\left(\frac{293,5-300}{3}\leqslant \frac{L-300}{3}\leqslant \frac{306,5-300}{3}\right)$$

   $$=p\left(-2,16\leqslant T\leqslant 2,16\right)=2\Pi \left(2,16\right)-1=0,9692$$

   
   
   1. $p(E_{1})=p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$ puisque $A$ et $B$ sont indépendants. D'où
      $p(E_{1})=0,03\times 0,07$, soit $p(E_{1})=0,0021$.
   2. $p(E_{2})=p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=0,03+0,07-0,021$, soit $p\left(E_{2}\right)=0,0979$.
   3. $p(E_{3})=p\left(\overline{A\cup B}\right)=1-p(A\cup B)=1-0,097\, 9$, soit $p\left(E_{3}\right)=0,9021$.
   4. On a 10 tirages indépendants, pour seulement 2 issues possibles ($E_{3}$ ou $\overline{E}_{3}$), on est bien dans le cadre d'une loi binômiale. Donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(10;0,902\right)$.
   5. Dans ce cas, on a

      $$p\left(X\geqslant 9\right) =p\left(X=9\right)+p\left(X=10\right)$$

      $$=C_{10}^{9}\left(0,902\right)^{9}\times \left(0,098\right)^{1}+C_{10}^{10}\left(0,902\right)^{10}\times \left(0,098\right)^{0}$$

      $$=0,744$$

      
      

2. La variable $\overline{X}$ suit la loi normale $\mathcal{N}(\mu ;0,084/\sqrt{60})$, et la moyenne sur un échantillon donné est $\overline{x}=4,012$.
   1. L'estimation ponctuelle est $\mu =4,012$.
3. On veut trouver le réel positif $a$ tel que $p(\overline{x}-a\leq \mu \leq \overline{x}+a)=0,95$. Introduisons la variable $\overline{T}$ définie par
   $$\overline{T}={\frac{\overline{X}-\mu }{0,084}}\times \sqrt{60},$$
   alors $\overline{T}$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$ et l'on sait que pour tout réel positif $t$ on a
   $$p(-t\leq \overline{T}\leq t)=2\Pi (t)-1.$$
   Un coup d'il sur le formulaire nous montre qu'il faut choisir $t=1,96$ pour obtenir une probabilité de $0,95$. Autrement dit, on sait que l'on a

   $$p\left(-1,96\leqslant \frac{\sqrt{60}}{0,084}\left(\overline{X}-\mu \right)\leqslant 1,96\right) =0,95$$

   $$p\left(-1,96\times \frac{0,084}{\sqrt{60}}\leqslant \overline{X}-\mu \leqslant 1,96\times \frac{0,084}{\sqrt{60}}\right) =0,95$$

   $$p\left(-0,021-\overline{X}\leqslant -\mu \leqslant 0,021+\overline{X}\right) =0,95$$

   $$p\left(-0,021-\overline{X}\leqslant \mu \leqslant 0,021+\overline{X}\right) =0,95$$

   
   
   D'où ici l'intervalle de confiance à $95\%$ cherché  $I=\left[3,991;4,033\right]$.
4. Bien sûr, l'affirmation proposée est fausse : avec un intervalle de confiance à $95\%$ on est encore très loin d'une certitude.