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Génération par récurrence

Exercice 6.5   Déterminer les cinq premiers termes de la suite $ \left( u_{n}\right)
$ définie par :

$\displaystyle \emph{u}_{0}\emph{=1}$ et $\displaystyle \emph{u}_{n+1}\emph{=}\frac{1}{1+u_{n}^{2}
}\text{ pour tout }\emph{n}\text{ de }\emph{N}
$

Exercice 6.6   Soit $ f$ la fonction définie sur $ \left[ -1,+\infty
\right[ $ par $ f\left( x\right) =\sqrt{1+x}.$ On considère la suite $ \left( v_{n}\right) $ définie par $ v_{0}=0$ et $ v_{n}=f\left( v_{n-1}\right) $ pour tout $ n$ de $ \mathbb{N}^{\ast}.$ Dans le plan muni d'un repère orthonormé, tracer la courbe représentative de $ f$ et en déduire une représentation des quatre premiers termes de la suite $ \left( v_{n}\right) .$

Le calcul du $ n-$ième terme d'une suite récurrente suppose que tous les termes d'indices inférieurs soient connus, ce qui n'est pas nécessaire pour une suite dans laquelle $ u_{n}$ s'exprime en fonction de $ n.$

Pour une suite définie par son premier terme et la relation de récurrence $ u_{n+1}=f\left( u_{n}\right) ,$ on prendra garde au fait que le sens de variation de la fonction $ f$ ne correspond pas forcément à celui de la suite, comme le montre l'exemple suivant, obtenu en choisissant $ u_{0}=0,$ et $ f$ définie sur $ \mathbb{R}$ par $ f\left( x\right)
=-\frac{1}{2}x+1.$

\includegraphics[]{capes1.eps}

La fonction $ f$ est décroissante, mais la suite $ \left( u_{n}\right)
$ n'est ni croissante, ni décroissante.


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Michel 2002-08-06