Génération par récurrence

Exercice 6.5   Déterminer les cinq premiers termes de la suite $\left( u_{n}\right)$ définie par :

$$\emph{u}_{0}\emph{=1}$$ et $$\emph{u}_{n+1}\emph{=}\frac{1}{1+u_{n}^{2} }\text{ pour tout }\emph{n}\text{ de }\emph{N}$$

Exercice 6.6   Soit $f$ la fonction définie sur $\left[ -1,+\infty \right[$ par $f\left( x\right) =\sqrt{1+x}.$ On considère la suite $\left( v_{n}\right)$ définie par $v_{0}=0$ et $v_{n}=f\left( v_{n-1}\right)$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}^{\ast}.$ Dans le plan muni d'un repère orthonormé, tracer la courbe représentative de $f$ et en déduire une représentation des quatre premiers termes de la suite $\left( v_{n}\right) .$

Le calcul du $n-$ième terme d'une suite récurrente suppose que tous les termes d'indices inférieurs soient connus, ce qui n'est pas nécessaire pour une suite dans laquelle $u_{n}$ s'exprime en fonction de $n.$

Pour une suite définie par son premier terme et la relation de récurrence $u_{n+1}=f\left( u_{n}\right) ,$ on prendra garde au fait que le sens de variation de la fonction $f$ ne correspond pas forcément à celui de la suite, comme le montre l'exemple suivant, obtenu en choisissant $u_{0}=0,$ et $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f\left( x\right) =-\frac{1}{2}x+1.$

La fonction $f$ est décroissante, mais la suite $\left( u_{n}\right)$ n'est ni croissante, ni décroissante.