Cas d'une variable aléatoire continue

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Reprenant la situation et les notations du paragraphe , on prolonge la définition précédente avec :

Définition 9   Dans le cas d'une variable aléatoire continue, l'espérance mathématique est définie par :

$$\overline{X}=E(X)=\int _{-\infty }^{+\infty }tf(t)dt$$

On obtient alors pour cet exemple :

$$\int _{-\infty }^{+\infty }tf(t)dt=\int _{-\infty }^{0}tf(t)dt+\int _{0}^{+\infty }tf(t)dt$$

Comme la fonction $f$ est nulle sur $\left]-\infty ,0\right]$, on écrit que :

$$\int _{-\infty }^{0}tf(t)dt=\lim _{b\rightarrow -\infty }\int _{b}^{0}tf(t)dt=\lim _{b\rightarrow -\infty }0=0$$

et enfin :

$$\int _{0}^{a}tf(t)dt=\int _{0}^{a}t\left(0,002te^{-0,002t}\right)dt=0,002\int _{0}^{a}te^{-0,002t}dt$$

On effectue ensuite une intégration par parties en posant :

$$u(t)=t\: v'(t)=e^{-0,002t}\Rightarrow u'(t)=1\: v(t)=-\frac{e^{-0,002t}}{0,002}$$

ce qui permet d'obtenir :

$$\int _{0}^{a}te^{-0,002t}dt=\left[-t\frac{e^{-0,002t}}{0,002}\rig... ...002t}}{0,002}\right]_{0}^{a}-\left[\frac{e^{-0,002t}}{0,002^{2}}\right]_{0}^{a}$$

Après simplication, on trouve :

$$\int _{0}^{a}tf(t)dt=-ae^{-0,002a}-\frac{e^{-0,002a}}{0,002}+\frac{1}{0,002}$$

Il reste à calculer la limite quand $a$ tend vers $+\infty$ :

$$\int _{0}^{+\infty }tf(t)dt=\lim _{a\rightarrow +\infty }\int _{0... ...rightarrow +\infty }-ae^{-0,002a}-\frac{e^{-0,002a}}{0,002}+\frac{1}{0,002}=500$$