Solutions des exercices

Solution 7.1 : On calcule :

$$\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2^{k}}=\frac{1-\left( \frac{1}{2}\right) ^{n+1} }{1-\frac{1}{2}}$$

Comme $\lim_{n\rightarrow+\infty}\left( \frac{1}{2}\right) ^{n+1}=0,$ on en déduit que la série $\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n}$ est convergente, et que

$$\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{2^{k}}=2$$

Solution 7.2 : Par le même raisonnement, on montre que la série $\sum q^{n}$ est convergente si et seulement si $\left\vert q\right\vert <1.$ Dans ce cas, la série converge vers $\frac{1}{1-q}.$

Solution 7.3 : On a la décomposition :

$$\frac{1}{n\left( n+1\right) }=\allowbreak\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$ pour tout $$n$$ de $$\mathbb{N}^{\ast}$$

On peut donc calculer la somme partielle de la série :

$$S_{n} =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k\left( k+1\right) }=\sum_{k=1}^{n}\frac {1}{k}-\frac{1}{k+1}$$

$$=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{n+1}$$

On en déduit que la série est convergente, car $\lim_{n\rightarrow +\infty}S_{n}=1,$ donc

$$\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k\left( k+1\right) }=1$$

Solution 7.4 : On a la décomposition :

$$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left( n+1\right) -n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\text{ pour tout }n\text{ de }\mathbb{N}$$

On peut donc calculer la somme partielle de la série :

$$S_{n} =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\sum_{k=1}^{n}\sqrt {k+1}-\sqrt{k}$$

$$=\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k+1}-\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}=0+\sqrt{n+1}$$

On en déduit que la série est divergente, car $\lim_{n\rightarrow +\infty}S_{n}=+\infty$.

Solution 7.5 : On obtient :

$$e^{x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}+\frac {x^{n+1}e^{c}}{\left( n+1\right) !}$$

avec $c$ appartenant à l'intervalle d'extrémités 0 et $x.$ Prenons $x=1.$ On en déduit donc que la somme partielle de la série est donnée par :

$$S_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}=e-\frac{e^{c}}{\left( n+1\right) !}$$

De manière évidente, cette suite admet une limite en $+\infty$ qui vaut $e,$ d'où l'égalité :

$$\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k!}=e$$

Solution 7.6 : On a

$$u_{n}\leqslant\frac{1}{n^{3}}$$

La série de Riemann de terme général $\frac{1}{n^{3}}$ est convergente, donc la série $\left( u_{n}\right)$ converge.

Pour $n>1$, on a

$$\ln n<n\Longrightarrow u_{n}>\frac{1}{n}$$

La série harmonique de terme général $\frac{1}{n}$ est divergente, donc la série $\left( v_{n}\right)$ est divergente.

Solution 7.8 :

1. $f$ est définie sur $\mathbb{R}$, paire et périodique, de période $T=\pi$ ; de plus $f(t)=\frac{\pi}{2}t$ si $t\in\left[0~,~\frac{\pi}{2}\right]$ On obtient la courbe :
   
2. Calculons les coefficients de Fourier $a_n$ et $b_n$ de la fonction $f$ ; on a $T=\pi$, $\frac{2\pi}{\omega}=\pi$ donc $\omega=2$.
   • calcul de $b_n$ : puisque $f$ est paire, on sait que $b_n=0$;
   • calcul de $a_0$ :
     $$a_0=\frac{1}{\pi} \int_{ -\frac{\pi}{2} } ^{ \frac{\pi}{2} } ~f(t... ...{\pi}{2} \left[ \frac{t^2}{2} \right] ^{ \frac{\pi}{2} }_{0} =\frac{{\pi}^2}{8}$$

   • calcul de $a_n$ pour $n\in \mathbb{N}^*$ :
     $$a_n=\frac{2}{\pi} \int_{ -\frac{\pi}{2} } ^{ \frac{\pi}{2} }~f(t)... ...ac{\pi}{2}t~\cos 2nt~{\rm d}t =2 \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }~t\cos 2nt~{\rm d}t$$
     On intègre par parties, en posant $u(t)=t$ et $v'(t)=\cos 2nt$ ;
     donc $u'(t)=1$ et $v(t)=\frac{1}{2n}\sin 2nt$ ; on obtient donc :
     $$a_n=2\left[ \left[ \frac{t\sin 2nt}{2n} \right]_{0}^{ \frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{ \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2nt}{2n}~{\rm d}t \right]$$
     puisque $\sin \frac{2n\pi}{2}=0$, il vient :
     $$a_n=2\left[ 0 -\frac{1}{2n} \left[ -\frac{\cos 2nt}{2n} \right]_{... ...\pi}{2}} \right] = \frac{1}{2n^2} \left( \cos \frac{2n\pi}{2} - \cos 0 \right)$$
     d'où
     $$a_n=\frac{1}{2n^2}\left( (-1)^n -1 \right)$$
     Si $n$ pair, $n=2p$ ( $p\in\mathbb{N}^*$) on a $(-1)^n=(-1)^{2p}=1$ donc $a_{2p}=0$.
     Si $n$ impair, $n=2p+1$ on a $(-1)^n=(-1)^{2p+1}=-1$ donc $a_{2p+1}=-\frac{1}{(2p+1)^2}$.
3. 1. $f$ est périodique de période $T=\pi$ ; de plus :
      • sur $[0~,~\pi]$ $f$ est continue (car $\lim_{{\frac{\pi}{2}}^-}f=\frac{{\pi}^2}{4}=\lim_{{\frac{\pi}{2}}^+}f$) et $f$ est dérivable sauf en 0, $\frac{\pi}{2}$ et $\pi$.
        
      • sur $]0~,~\frac{\pi}{2}[$ on a $f'(t)=\frac{\pi}{2}$ et sur $]\frac{\pi}{2}~,~\pi[$ on a $f'(t)=-\frac{\pi}{2}$
        $$\lim_{t \rightarrow 0^+} f'(t)=\frac{{\pi}}{2}~~~~ \lim_{t \right... ...}}{2}~~~~ \textnormal{et}~~~~ \lim_{t \rightarrow \pi^-}f'(t)=-\frac{{\pi}}{2}$$
        Aux points où $f$ n'est pas dérivable, $f'$ admet une limite finie à gauche et à droite.
        Donc $f$ satisfait aux conditions de Dirichlet.
   2. Comme $f$ est continue en tout point de $\mathbb{R}$, la série de Fourier de $f$, $S(t)=a_0+\sum_{n=1}^{+\infty}~a_n \cos 2nt$ converge vers $f(t)$ pour tout $t$ réel.
      Or, sur $[0~,~\frac{\pi}{2}]~~~~f(t)=\frac{\pi}{2}t$ et sur $[\frac{\pi}{2}~,~\pi]~~~~ f(t)=-\frac{\pi}{2}t+\frac{{\pi}^2}{2}$
      Donc, sur $[0~,~\frac{\pi}{2}]~~~~S(t)=\frac{\pi}{2}t$ et sur $[\frac{\pi}{2}~,~\pi]~~~~ S(t)=-\frac{\pi}{2}t+\frac{{\pi}^2}{2}$

4. 1. $$S(t)=\frac{{\pi}^2}{8}-\sum_{p=0}^{+\infty}~\frac{1}{(2p+1)^2}~ \cos (2(2p+1)t)$$
      D'après ce qui précède, en $t=0$ on aura $S(0)=f(0)=0$ et donc :
      $$\frac{{\pi}^2}{8}-\sum_{p=0}^{+\infty}~\frac{1}{(2p+1)^2} \cos 0 ... ...textnormal{d'où}~~~~ \sum_{p=0}^{+\infty}~\frac{1}{(2p+1)^2}=\frac{{\pi}^2}{8}$$

   2. Calculons le carré de la valeur efficace de $f$ :
      $$f_{eff}^2 = \frac{1}{\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}} ~... ...{2}} = \frac{\pi}{2} \times \frac{1}{3} \frac{{\pi}^3}{8} = \frac{{\pi}^4}{48}$$
      car $f$ étant paire, $f^2$ l'est aussi.
      Avec la formule de Parseval $f_{eff}^2={a_0}^2+ \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty}~{a_n}^2$
      on obtient : $\frac{{\pi}^4}{48}= \left( \frac{{\pi}^2}{8} \right)^2 + \frac{1}{2} \sum_{p=0}^{+\infty}~\left(\frac{1}{(2p+1)^2}\right)^2$
      d'où $\frac{1}{2} \sum_{p=0}^{+\infty}~\frac{1}{(2p+1)^4} = \frac{{\pi}^4}{48}-\frac... ...\left( \frac{1}{3} -\frac{1}{4} \right) = \frac{{\pi}^4}{8}\times \frac{1}{12}$
      d'où $\sum_{p=0}^{+\infty}~\frac{1}{(2p+1)^4}= \frac{{\pi}^4}{96}$

Solution 7.9 :

1. Calculons la première intégrale :
   

   $$\int_0^{\pi} \sin t \cdot \cos t~{\rm d}t = \int_0^{\pi} \frac{1}{2}\sin 2t ~{\rm d}t =\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos 2t \right]_0^{\pi}$$

   $$= -\frac{1}{4}\left[\cos 2\pi - \cos 0 \right] = 0$$

   
   
   et la seconde intégrale :
   

   $$\int_0^{\pi} \sin t \cdot \cos 2t~{\rm d}t = \int_0^{\pi} \frac{1}{2}\left( \sin 3t + \sin -t \right) ~{\rm d}t$$

   $$= \int_0^{\pi} \frac{1}{2}\left( \sin 3t - \sin t \right) ~{\rm d}t$$

   $$= \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{3}\cos 3t +\cos t \right]_0^{\pi}$$

   $$= \frac{1}{2}\left[ \left( -\frac{1}{3}\cos 3\pi +\cos \pi \right) - \left( -\frac{1}{3}\cos 0 +\cos 0 \right) \right]$$

   $$= \frac{1}{2}\left[ \left( \frac{1}{3} -1 \right) - \left( -\frac{1}{3}+1 \right) \right]$$

   $$= \frac{1}{2}\left( \frac{2}{3} - 2\right) =-\frac{1}{2} \frac{4}{3} = -\frac{2}{3}$$

   
   

2. 1. La représentation graphique à l'allure suivante :
      

      De plus $T=2\pi$ donc $\omega = \frac{2\pi}{T}=1$.

   2. Calculons $a_0$ :
      

      $$a_0 = \frac{1}{T}\int_a^{a+T} e(t)~{\rm d}t =\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} e(t)~{\rm d}t$$

      $$= \frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi} \sin t ~{\rm d}t ~~~~~ \textnormal{puisque}~~~~ e(t)=0 ~~~~~ \textnormal{si}~~~~ t\in [\pi~,~2\pi]$$

      $$= \frac{1}{2\pi}\left[ -\cos t \right]_0^{\pi} =-\frac{1}{2\pi}\left( \cos \pi-\cos 0 \right) =-\frac{1}{2\pi}\left( -1-1\right)=\frac{1}{\pi}$$

      
      
      Calculons $a_1$ :
      

      $$a_1 = \frac{2}{T}\int_a^{a+T} e(t)\cos \omega t~{\rm d}t =\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} \sin t \cos t~{\rm d}t = \frac{1}{\pi}(0)=0$$

      
      
      Calculons $a_2$ :
      

      $$a_2 = \frac{2}{T}\int_a^{a+T} e(t)\cos 2\omega t~{\rm d}t =\frac{1}{\pi... ... t \cos 2t~{\rm d}t = \frac{1}{\pi}\left( -\frac{2}{3} \right)= -\frac{2}{3\pi}$$

      
      
      On admet que $b_1=\frac{1}{2}$ et $b_2 = 0$.
3. 1. Calculons $E^2$ si $E$ est la valeur efficace de $e$ :
      

      $$E^2 = \frac{1}{T}\int_a^{a+T}\left[ e(t) \right]^2 ~{\rm d}t =\frac{1}{... ...\rm d}t ~~~~\textnormal{car}~~~~e(t)=0 ~~~~\textnormal{si}~~~~t\in [\pi~,~2\pi]$$

      $$= \frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi} \frac{1}{2}\left( 1-\cos 2t \right)\ ~{\rm d}t =\frac{1}{4\pi}\left[ t-\frac{1}{2}\sin 2t \right]_0^{\pi}$$

      $$= \frac{1}{4\pi} \left[ \left( \pi-\frac{1}{2}\sin 2\pi \right)-0 \right]=\frac{1}{4}$$

      
      

   2. D'après la formule de Bessel-Parseval on a :
      $$E^2=a_0^2+ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n^2+b_n^2}{2}$$
      Calculons $P$ :
      

      $$P = a_0^2+\frac{1}{2} \left( a_1^2+ b_1^2+ a_2^2+ b_2^2 \right)$$

      $$= \left(\frac{1}{\pi} \right)^2+\frac{1}{2} \left[ 0^2+ \left(\frac{1}{2} \right)^2+ \left(-\frac{2}{3\pi} \right)^2+0^2 \right]$$

      $$= \frac{1}{{\pi}^2} +\frac{1}{2} \left( \frac{1}{4}+ \frac{4}{9{\pi... ...{\pi}^2} + \frac{1}{8} + \frac{2}{9{\pi}^2} = \frac{11}{9{\pi}^2} + \frac{1}{8}$$

      
      
      donc $\frac{P}{E^2}= \frac{\frac{11}{9{\pi}^2} + \frac{1}{8}}{\frac{1}{4}}= \frac{44}{9{\pi}^2} + \frac{1}{2} \approx 0.9953$ donc la valeur approchée cherchée est $0.995$.

Solution 7.10 : On a affaire à une série de terme positif. Utilisons le critère de d'Alembert :

$$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim_{n\rightarrow+\infty }\frac{n+1}{n^{2}}=0$$

ce qui prouve que la série est convergente.

Solution 7.11 : Justifier la minoration suivante, valable pour tout $n$ non-nul :

$$\int_{n}^{2n}\frac{dt}{1+t^{2}}\geqslant\int_{n}^{2n}\frac{dt}{1+\left( 2n\right) ^{2}}\geqslant\frac{n}{1+\left( 2n\right) ^{2}}$$

Or, la série de terme général

$$\frac{n}{1+4n^{2}}$$

est divergente car son terme général équivaut à

$$\frac{1}{4n}$$

qui est la terme général d'une série divergente. On en conclut par les règles de comparaison que la série étudiée est divergente.

Solution 7.12 : En utilisant le changement de variable proposé, on a :

$$\sqrt{n}+a\sqrt{n+1}+b\sqrt{n+2} =\sqrt{\frac{1}{u}}+a\sqrt{\frac{1}{u} +1}+b\sqrt{\frac{1}{u}+2}$$

$$=\frac{1}{\sqrt{u}}\left( 1+a\sqrt{1+u}+b\sqrt{1+2u}\right)$$

$$=\frac{1}{\sqrt{u}}\left( 1+a+b+\frac{\left( a+2b\right) }{2} u-\frac{\left( a+4b\right) }{8}u^{2}+o\left( u^{2}\right) \right)$$

$$=\left( 1+a+b\right) \sqrt{n}+\frac{\left( a+2b\right) }{2\sqrt{n} }-\frac{\left( a+4b\right) }{8n^{\frac{3}{2}}}+o\left( n^{\frac{3}{2} }\right)$$

Comme les séries $\sum\sqrt{n}$ et $\sum\frac{1}{\sqrt{n}}$ sont divergentes, il faut donc que

$$\left\{ \begin{array}[c]{l} 1+a+b=0\\ a+2b=0 \end{array}\ri... ...rrow\left\{ \begin{array}[c]{l} a=-2\\ b=1 \end{array}\right.$$

Dans ce cas, on a alors :

$$u_{n}\sim-\frac{1}{4n^{\frac{3}{2}}}$$

qui est une série convergente ( voir les séries de Riemann ).